Métrica de Robertson-Walker: Entiende cómo describe la curvatura y expansión del universo en cosmología. Fundamentos esenciales de la dinámica cósmica.
Métrica de Robertson-Walker | Cosmología, Curvatura y Dinámica del Universo
La métrica de Robertson-Walker es una herramienta fundamental en cosmología, la rama de la física que estudia el origen, estructura, evolución y eventual destino del universo. Esta métrica describe un universo homogéneo e isotrópico, es decir, uno que tiene las mismas propiedades en todas partes y en todas las direcciones. Fue desarrollada independientemente por Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker en la década de 1930.
La Métrica de Robertson-Walker
La métrica de Robertson-Walker se utiliza para describir el espacio-tiempo en un universo en expansión. En términos matemáticos, se escribe como:
\[ ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1 – kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) \right) \]
Aquí:
- \( ds^2 \) es el intervalo espacio-tiempo.
- \( c \) es la velocidad de la luz.
- \( t \) es el tiempo cósmico.
- \( a(t) \) es el factor de escala, que describe cómo cambia la distancia entre dos puntos en el universo con el tiempo.
- \( r, \theta, \phi \) son las coordenadas radiales y angulares en el espacio tridimensional.
- \( k \) es un parámetro que describe la curvatura espacial del universo: \( k = 0 \) indica un universo plano, \( k = 1 \) indica un universo con curvatura positiva (cerrado), y \( k = -1 \) indica un universo con curvatura negativa (abierto).
Esta métrica es la base del modelo cosmológico estándar, también conocido como el modelo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW).
Curvatura del Universo
La curvatura espacial del universo está relacionada con su densidad de energía total. En el contexto del modelo FLRW, se define una “densidad crítica” separando distintos regímenes de curvatura:
\[ \rho_c = \frac{3H^2}{8 \pi G} \]
Donde:
- \( \rho_c \) es la densidad crítica.
- \( H \) es la constante de Hubble, que mide la tasa de expansión del universo.
- \( G \) es la constante de gravitación universal de Newton.
Dependiendo de la densidad real \( \rho \) del universo comparada con \( \rho_c \), podemos determinar la curvatura del universo:
- Si \( \rho = \rho_c \), el universo es plano (\( k = 0 \)).
- Si \( \rho > \rho_c \), el universo es cerrado (\( k = 1 \)).
- Si \( \rho < \rho_c \), el universo es abierto (\( k = -1 \)).
Dinámica del Universo
La dinámica del universo se describe mediante las ecuaciones de Friedmann, que se derivan de las ecuaciones de campo de Einstein aplicadas a una métrica de Robertson-Walker. Las ecuaciones de Friedmann son:
\[ \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho – \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3} \]
y
\[ \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + 3p \right) + \frac{\Lambda}{3} \]
Donde:
- \( \dot{a} \) es la derivada temporal del factor de escala, y \( \ddot{a} \) es la segunda derivada temporal del factor de escala.
- \( \rho \) es la densidad de energía del universo.
- \( p \) es la presión.
- \( \Lambda \) es la constante cosmológica, que se asocia con la energía del vacío o energía oscura.
La primera ecuación de Friedmann describe cómo la tasa de expansión del universo (\( H = \frac{\dot{a}}{a} \)) está relacionada con la densidad de energía, la curvatura y la constante cosmológica. La segunda ecuación describe cómo la aceleración de la expansión universal depende de la densidad, la presión y la constante cosmológica.
La constante cosmológica \( \Lambda \) se introduce para explicar la expansión acelerada del universo, un fenómeno descubierto a finales del siglo XX mediante la observación de supernovas lejanas. Este hallazgo llevó al concepto de energía oscura, que constituye aproximadamente el 68% de la densidad de energía del universo.
En conjunto, estas ecuaciones permiten a los físicos comprender cómo ha evolucionado el universo desde el Big Bang y predecir su futuro. Según el modelo FLRW, el universo ha pasado por diferentes fases, incluyendo una era de radiación dominada, una era de materia dominada, y la actual era de energía oscura dominada.
Componentes del Universo
El modelo de consenso actual divide la densidad de energía del universo en tres componentes principales:
- Materia Ordinaria: Constituye aproximadamente el 5% de la densidad de energía del universo y está compuesta por protones, neutrones, electrones y otras partículas subatómicas que forman los átomos.
- Materia Oscura: Representa alrededor del 27% del total. Aunque no interactúa con la luz de manera directa, su presencia se infiere a través de efectos gravitacionales sobre la materia visible, como las galaxias y los cúmulos de galaxias.
- Energía Oscura: Este componente constituye aproximadamente el 68% de la densidad de energía del universo y se asocia con la constante cosmológica \( \Lambda \). Es responsable de la expansión acelerada observada del universo.