Ecuaciones de Friedmann: analiza la expansión del universo, su dinámica y posible destino. Comprende cómo estas ecuaciones modelan la evolución cósmica.
Ecuaciones de Friedmann | Expansión, Dinámica y Destino del Universo
Las ecuaciones de Friedmann son fundamentales en la cosmología moderna, ya que describen cómo el universo se expande y evoluciona a lo largo del tiempo. Este conjunto de ecuaciones deriva de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein y se aplican bajo el supuesto de un universo homogéneo e isotrópico, conocido como el modelo cosmológico de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Para entender mejor estas ecuaciones y su relevancia, exploraremos las bases teóricas, las fórmulas implicadas y cómo estas se relacionan con la expansión y el destino del universo.
Teorías Fundamentales
La base teórica de las ecuaciones de Friedmann recae principalmente en la teoría de la relatividad general de Einstein y en el principio cosmológico. La relatividad general establece que la gravedad no es simplemente una fuerza sino una curvatura del espacio-tiempo causada por la masa y la energía. Este principio reformula la gravedad y la relación entre masa, energía y el espacio-tiempo.
El principio cosmológico, por otro lado, postula que el universo es homogéneo e isotrópico a gran escala. En otras palabras, las propiedades del universo son las mismas en todas partes y en todas las direcciones. Este principio simplifica las ecuaciones y permite que se formulen de manera más manejable.
Formulación de las Ecuaciones de Friedmann
Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de dos ecuaciones diferenciales que vinculan la tasa de expansión del universo con la densidad de energía y la curvatura del espacio. Se derivan de las ecuaciones de campo de Einstein aplicadas a un universo homogéneo e isotrópico.
La primera ecuación de Friedmann es:
\[
\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho – \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}
\]
Aquí, \(a(t)\) es el factor de escala que describe cómo se expande el universo en función del tiempo \(t\). \(\dot{a}\) es la derivada del factor de escala con respecto al tiempo, indicando la velocidad de expansión. \(G\) es la constante gravitacional, \(\rho\) es la densidad de energía total del universo, \(k\) es un término que describe la curvatura espacial (k = 0 para un universo plano, k = 1 para un universo esférico y k = -1 para un universo hiperbólico), y \(\Lambda\) es la constante cosmológica introducida por Einstein.
La segunda ecuación de Friedmann, que representa la aceleración o desaceleración de la expansión, es:
\[
\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3} \left( \rho + \frac{3p}{c^2} \right) + \frac{\Lambda}{3}
\]
En esta ecuación, \(\ddot{a}\) es la segunda derivada del factor de escala con respecto al tiempo, \(p\) es la presión del contenido del universo, y \(c\) es la velocidad de la luz. Esta ecuación muestra cómo la densidad y la presión del universo afectan su tasa de expansión.
Expansión del Universo
La expansión del universo fue observada por primera vez por Edwin Hubble en 1929. Hubble descubrió que las galaxias se alejan de nosotros, y que su velocidad de recesión es proporcional a su distancia. Esta observación es consistente con un universo en expansión y se describe con la ley de Hubble:
\[
v = H_0 d
\]
Aquí, \(v\) es la velocidad a la que una galaxia se aleja, \(d\) es la distancia a la galaxia, y \(H_0\) es la constante de Hubble, que describe la tasa de expansión del universo. Las ecuaciones de Friedmann se ajustan a esta observación al considerar el factor de escala \(a(t)\), que determina cómo cambian las distancias en el universo con el tiempo.
Dinámica del Universo
La dinámica del universo se refiere a cómo cambia la expansión del universo con el tiempo. Esto depende de las diferentes formas de energía presentes en el universo, como la energía de materia, radiación y energía oscura, así como la curvatura espacial \(k\).
- Materia: La materia ordinaria (bariones) y la materia oscura, que tienen una presión despreciable (p ≈ 0). Su densidad de energía disminuye como \(a^{-3}\).
- Radiación: Incluye fotones y neutrinos, cuya presión no es despreciable y cuya densidad de energía disminuye con \(a^{-4}\).
- Energía Oscura: Representada por la constante cosmológica \(\Lambda\), que causa una presión negativa y, por lo tanto, acelera la expansión del universo. Su densidad de energía es constante en el tiempo.