Teoría de Brans-Dicke: una revisión del campo escalar y su impacto en la gravedad y cosmología, comparado con la relatividad general de Einstein.
Teoría de Brans-Dicke: Campo Escalar, Gravedad y Cosmología
La teoría de Brans-Dicke es una extensión de la teoría de la relatividad general de Einstein, propuesta inicialmente en 1961 por los físicos Carl Brans y Robert H. Dicke. Esta teoría introduce un campo escalar además del tensor métrico de la relatividad general, lo que permite una descripción más flexible de la interacción gravitacional. Fundamentalmente, la teoría de Brans-Dicke busca responder preguntas cosmológicas que la relatividad general no puede abordar completamente.
Fundamentos de la Teoría de Brans-Dicke
En la relatividad general, la constante gravitacional \(G\) es un valor fijo. Sin embargo, la teoría de Brans-Dicke introduce un campo escalar \(\phi\) que varía en el espacio y el tiempo, lo que permite que la “constante” gravitacional también varíe. Este enfoque se fundamenta en la hipótesis de que la gravedad podría depender de las propiedades del campo escalar, además del contenido de materia y energía del universo.
Campo Escalar
El campo escalar \(\phi\) es una función que asigna un valor único a cada punto del espacio-tiempo. En la teoría de Brans-Dicke, este campo es dinámico y su evolución obedece a una ecuación de movimiento derivada del principio variacional:
\[
S = \int d^4x \sqrt{-g} \left( \phi R – \frac{\omega}{\phi} (\nabla \phi)^2 + \mathcal{L}_m \right)
\]
donde \(S\) es la acción total del sistema, \(R\) es el escalar de Ricci, \(g\) es el determinante de la métrica, \(\omega\) es un parámetro adimensional conocido como el parámetro de Brans-Dicke y \(\mathcal{L}_m\) representa la densidad lagrangiana de la materia.
La variación de esta acción con respecto a la métrica \(g_{\mu\nu}\) y el campo escalar \(\phi\) nos da las ecuaciones de campo de Brans-Dicke:
\[
G_{\mu\nu} = \frac{8\pi T_{\mu\nu}}{\phi} + \frac{\omega}{\phi^2} \left( \nabla_\mu \phi \nabla_\nu \phi – \frac{1}{2} g_{\mu\nu} (\nabla \phi)^2 \right) + \frac{1}{\phi} (\nabla_\mu \nabla_\nu \phi – g_{\mu\nu} \Box \phi)
\]
\[
\Box \phi = \frac{8\pi T}{2\omega + 3}
\]
donde \(G_{\mu\nu}\) es el tensor de Einstein, \(T_{\mu\nu}\) es el tensor de energía-momento y \(\Box\) es el operador d’Alembertiano.
Gravedad en la Teoría de Brans-Dicke
En la teoría de Brans-Dicke, la gravedad no solo se deforma por la presencia de masa y energía, sino también por la variación del campo escalar \(\phi\). La introducción de este campo permite que la constante gravitacional efectiva \(G_{eff}\) varíe de acuerdo con la expresión:
\[
G_{eff} = \frac{1}{\phi}
\]
Por lo tanto, \(\phi\) actúa como un mediador que modula la intensidad de la interacción gravitatoria. Esta modulación puede tener consecuencias significativas en escenarios cosmológicos y astrofísicos, proporcionando una mayor flexibilidad para la explicación de fenómenos como la aceleración cósmica o las variaciones en la nucleosíntesis primordial.
Cosmología en la Teoría de Brans-Dicke
En el contexto cosmológico, la teoría de Brans-Dicke ofrece una plataforma para explorar escenarios alternativos al modelo estándar basado en la relatividad general. Las ecuaciones de Friedmann para un universo isotrópico y homogéneo se modifican para incluir la contribución del campo escalar \(\phi\). Para un universo plano, las ecuaciones toman la forma:
\[
H^2 = \frac{8\pi \rho}{3\phi} – H \frac{\dot{\phi}}{\phi} + \frac{\omega}{6} \left( \frac{\dot{\phi}}{\phi} \right)^2
\]
donde \(H\) es la constante de Hubble, \(\rho\) es la densidad de energía y \(\dot{\phi}\) es la derivada temporal del campo escalar.
Además, la ecuación de Friedmann modificada se complementa con la ecuación de Klein-Gordon para el campo escalar en un fondo cosmológico:
\[
\ddot{\phi} + 3H\dot{\phi} = \frac{8\pi \rho – 3p}{2\omega + 3}
\]
donde \(p\) es la presión del fluido cosmológico. Esta dupla de ecuaciones permite estudiar la evolución conjunta del campo escalar y la expansión del universo, abriendo la posibilidad de analizar cómo influye un campo gravitatorio dinámico sobre procesos cosmológicos cruciales.
Las observaciones recientes sobre la expansión acelerada del universo y las fluctuaciones en la radiación cósmica de fondo (CMB) han motivado el interés en modificaciones a la relatividad general como la teoría de Brans-Dicke. Por ejemplo, la inclusión del campo escalar puede ofrecer una explicación alternativa a la energía oscura, un componente fundamental pero enigmático del modelo cosmológico estándar.
Evidencias Observacionales y Límite en el Parámetro \(\omega\)
Una cuestión importante de la teoría de Brans-Dicke es determinar el valor del parámetro \(\omega\). Cuando \(\omega\) tiende a infinito, las ecuaciones de Brans-Dicke se reducen a las de la relatividad general. Observaciones de sistemas de estrellas binarias y del CMB han proporcionado límites inferiores para \(\omega\), usualmente mayores a 10,000, lo que implica que cualquier desviación de la relatividad general es extremadamente pequeña.
Estos límites sugieren que si la teoría de Brans-Dicke es correcta, el campo escalar tiene un impacto muy sutil en las escalas observacionales actuales, aunque podría jugar un papel más significativo en el universo temprano o en entornos gravitacionales extremos.