Relaciones de Green-Kubo: Aprende sobre el análisis de datos, simulaciones y teoría detrás de estas ecuaciones en física para comprender el transporte y las fluctuaciones.
Relaciones de Green-Kubo: Análisis de Datos, Simulaciones y Teoría
Las relaciones de Green-Kubo son fundamentales en la física estadística y termodinámica para describir y relacionar las propiedades macroscópicas de un sistema con sus características microscópicas. En particular, son herramientas poderosas para entender y calcular la conductividad térmica, la difusión y la viscosidad en sistemas en equilibrio. A lo largo de este artículo, exploraremos las bases teóricas de las relaciones de Green-Kubo, las formulaciones matemáticas esenciales y cómo se usan análisis de datos y simulaciones para aplicarlas en diferentes contextos.
Fundamentos Teóricos
Las relaciones de Green-Kubo tienen su origen en la teoría de la respuesta lineal, que describe cómo un sistema en equilibrio responde a pequeñas perturbaciones externas. Fundamentadas en la mecánica estadística, estas relaciones permiten calcular coeficientes de transporte, como la conductividad térmica (κ), la difusión (D) y la viscosidad (η), a partir de las fluctuaciones en equilibrio del sistema.
Formuladas por Melville S. Green y Ryogo Kubo en la década de 1950, estas relaciones se derivan utilizando las funciones de autocorrelación temporal de las variables microscópicas apropiadas. Las ecuaciones revelan cómo las propiedades de transporte están relacionadas con las fluctuaciones espontáneas en las cantidades termodinámicas.
Formulación Matemática
Una de las formulaciones más comunes de las relaciones de Green-Kubo se expresa de la siguiente manera:
\[ \kappa = \frac{V}{k_B T^2} \int_0^\infty \langle J_Q(0) J_Q(t) \rangle \, dt, \]
donde:
- κ es la conductividad térmica.
- V es el volumen del sistema.
- kB es la constante de Boltzmann.
- T es la temperatura del sistema.
- \( \langle J_Q(0) J_Q(t) \rangle \) es la función de autocorrelación temporal del flujo de calor \(J_Q\).
De manera similar, la difusión D y la viscosidad η también se pueden expresar en términos de funciones de autocorrelación:
Para la difusión, tenemos:
\[ D = \frac{1}{d} \int_0^\infty \langle v_\alpha(0) v_\alpha(t) \rangle \, dt, \]
donde d es la dimensionalidad del sistema y \(v_\alpha\) es la velocidad en la dirección α.
Para la viscosidad, la relación de Green-Kubo se puede escribir como:
\[ \eta = \frac{1}{V k_B T} \int_0^\infty \langle P_{\alpha \beta}(0) P_{\alpha \beta}(t) \rangle \, dt, \]
donde \(P_{\alpha \beta}\) representa los componentes del tensor de presión.
Análisis de Datos y Simulaciones
Las relaciones de Green-Kubo son especialmente útiles porque permiten calcular propiedades de transporte a partir de datos obtenidos en simulaciones de dinámica molecular. Las simulaciones de dinámica molecular pueden generar datos sobre la evolución temporal de propiedades microscópicas como velocidades de partículas, flujos de calor y tensores de presión.
Para aplicar las relaciones de Green-Kubo, el primer paso consiste en realizar una simulación de dinámica molecular del sistema de interés en equilibrio térmico. Durante la simulación, se realiza un seguimiento de las variables microscópicas relevantes (p.ej., flujo de calor, velocidades de partículas) a lo largo del tiempo. Estos datos se utilizan para calcular las funciones de autocorrelación temporal.
Un diagrama típico del proceso sería:
- Realizar una simulación de dinámica molecular en equilibrio del sistema.
- Registrar las variables microscópicas (por ejemplo, \(J_Q\), \(v_\alpha\), \(P_{\alpha \beta}\)).
- Calcular las funciones de autocorrelación temporal de las variables registradas:
- Integrar las funciones de autocorrelación temporal para obtener los coeficientes de transporte utilizando las relaciones de Green-Kubo:
\[ C_{AA}(t) = \langle A(0) A(t) \rangle \]
\[ \kappa = \frac{V}{k_B T^2} \int_0^\infty \langle J_Q(0) J_Q(t) \rangle \, dt \]