Fórmulas de Kubo explicadas: transporte cuántico, correlaciones y análisis de datos para comprender fenómenos en sistemas físicos y aplicaciones tecnológicas.
Fórmulas de Kubo | Transporte Cuántico, Correlaciones y Análisis de Datos
El estudio del transporte cuántico y las correlaciones en sistemas físicos ha sido un área de investigación fundamental en la física moderna. Una herramienta clave en este campo es la formulación de Kubo, que proporciona un marco teórico para entender cómo las perturbaciones externas afectan a un sistema en equilibrio térmico. Esta formulación se utiliza para describir la respuesta lineal de un sistema y abarca una variedad de conceptos, desde conductividad eléctrica hasta susceptibilidad magnética. A continuación, exploraremos las bases teóricas, algunas de las fórmulas más importantes y cómo se aplican en el análisis de datos y correlaciones.
Bases Teóricas
La teoría de Kubo se basa en la mecánica cuántica y la estadística fuera de equilibrio. Un aspecto crucial de esta teoría es la respuesta lineal, que se refiere a cómo un sistema responde a perturbaciones externas pequeñas. Supongamos que tenemos un sistema en equilibrio térmico que se describe por un hamiltoniano \( H_0 \). Si aplicamos una perturbación pequeña \( H’ = -\epsilon A \), donde \( \epsilon \) es una pequeña parámetro y \( A \) es una observable del sistema, podemos estudiar la respuesta del sistema a esta perturbación utilizando la teoría de Kubo.
La derivación fundamental de Kubo comienza con la ecuación de movimiento para el operador de densidad \( \rho(t) \) en mecánica cuántica:
\[
i \hbar \frac{d \rho}{dt} = [H, \rho]
\]
Aquí, \( H = H_0 + H’ \) es el hamiltoniano total del sistema. Suponiendo una perturbación pequeña, podemos expresarla como una expansión de \( \rho \) en términos de la perturbación:
\[
\rho(t) = \rho_0 + \delta \rho(t)
\]
Donde \( \rho_0 \) es la densidad de equilibrio y \( \delta \rho(t) \) es la corrección debido a la perturbación. Utilizando estas suposiciones, Kubo demostró que la respuesta lineal de cualquier observable \( B \) a la perturbación se puede expresar en términos de una función de correlación de tiempo:
\[
\langle B(t) \rangle = \langle B \rangle_{eq} + \int_{-\infty}^{t} \phi_{AB}(t-t’) \epsilon(t’) dt’
\]
Aquí, \( \langle B \rangle_{eq} \) es el valor de equilibrio de \( B \), y \( \phi_{AB}(t-t’) \) es la función de correlación de Kubo definida como:
\[
\phi_{AB}(t-t’) = \frac{1}{i\hbar} \langle [A(t’), B(t)] \rangle_{eq}
\]
En este contexto, \( \langle \cdots \rangle_{eq} \) denota el promedio en el conjunto de equilibrio.
Fórmulas de Kubo
Las fórmulas de Kubo son ampliamente utilizadas para calcular diversas propiedades de transporte. Veamos algunos ejemplos de importancia clave:
Conductividad Eléctrica
Uno de los usos más comunes de las fórmulas de Kubo es en la determinación de la conductividad eléctrica. Según la teoría de Kubo, la conductividad \( \sigma \) se puede expresar en términos de la correlación entre las corrientes eléctricas:
\[
\sigma_{ij}(\omega) = \frac{1}{\hbar \omega V} \int_{0}^{\infty} e^{i \omega t} \langle [J_i(t), J_j(0)] \rangle dt
\]
Aquí, \( \omega \) es la frecuencia, \( V \) es el volumen del sistema, y \( J_i(t) \) es la densidad de corriente eléctrica en la dirección \( i \) en el tiempo \( t \).
Susceptibilidad Magnética
La susceptibilidad magnética describe cómo un material responde a un campo magnético aplicado. Mediante las fórmulas de Kubo, la susceptibilidad \( \chi \) se expresa como:
\[
\chi_{ij}(\omega) = \frac{1}{k_B T} \int_{0}^{\infty} e^{i \omega t} \langle [M_i(t), M_j(0)] \rangle dt
\]
Aquí, \( M_i(t) \) es la densidad de momento magnético en la dirección \( i \) y \( k_B \) es la constante de Boltzmann.
Calor Específico
El calor específico, que mide la cantidad de calor necesario para cambiar la temperatura de un sistema, también se puede estudiar utilizando las correlaciones de energía:
\[
C_v = \frac{1}{k_B T^2} (\langle H^2 \rangle_{eq} – \langle H \rangle_{eq}^2)
\]
En esta fórmula, \( H \) representa el hamiltoniano total del sistema y \( \langle \cdots \rangle_{eq} \) denota el promedio de equilibrio térmico.
Correlaciones y Análisis de Datos
El análisis de correlaciones en sistemas cuánticos es fundamental para entender las propiedades macroscópicas y microscópicas del material. Las funciones de correlación descritas en la teoría de Kubo juegan un papel crucial en este análisis.
Las correlaciones de tiempo de diversos operadores nos permiten entender cómo las perturbaciones locales y las excitaciones se propagan a través del sistema. Por ejemplo, en un material conductor, las correlaciones de corriente nos informan sobre cómo los electrones se mueven y distribuyen en el tiempo, impactando directamente en la conductividad del material.
- Funciones de Correlación Temporal: Permiten estudiar la propagación de excitaciones en el tiempo.
- Funciones de Respuesta: Nos ayudan a entender la relación causa-efecto entre una perturbación y la respuesta del sistema.
- Análisis Espectral: Descompone las correlaciones en diferentes frecuencias, revelando información sobre las dinámicas a escalas temporales específicas.
Un método típicamente utilizado para el análisis de datos en este contexto es la transformada de Fourier, que convierte las correlaciones temporales en funciones de frecuencia, facilitando el estudio del comportamiento dinámico del sistema.
- Recopilación de datos experimentales como corrientes eléctricas, magnetización, etc.
- Aplicación de perturbaciones controladas y medición de la respuesta del sistema.
- Uso de la teoría de Kubo para relacionar las respuestas medidas con las funciones de correlación.
- Transformada de Fourier para analizar los datos en el dominio de la frecuencia.
Esto no solo nos ayuda a entender las propiedades de transporte, sino que también nos permite predecir comportamientos bajo condiciones nuevas o no exploradas.