Ecuación de Bethe-Salpeter en el marco de la QED: Interacciones de partículas y cómo esta ecuación fundamental describe los vínculos entre ellas.
Ecuación de Bethe-Salpeter en el Marco de la QED y las Interacciones de Partículas
La ecuación de Bethe-Salpeter es una herramienta fundamental en física teórica que permite describir la interacción entre partículas cuánticas. Esta ecuación es particularmente relevante en el contexto de la Electrodinámica Cuántica (QED), donde se aplica para estudiar sistemas ligados como el positronio, un estado ligado de un electrón y un positrón.
Fundamentos Teóricos
La QED es una teoría cuántica de campos que describe cómo las partículas cargadas, como los electrones y positrones, interactúan mediante la mediación de fotones. Esta teoría se basa en principios fundamentales de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad especial. La ecuación de Bethe-Salpeter se deriva dentro de este marco para proporcionar una descripción detallada de los estados ligados en sistemas de dos cuerpos.
- Mecánica Cuántica: Proporciona el marco para describir el comportamiento de partículas a nivel subatómico.
- Relatividad Especial: Introduce la relación entre espacio y tiempo para partículas que se mueven a velocidades comparables a la de la luz.
- Teoría Cuántica de Campos (QFT): Fusiona la mecánica cuántica y la relatividad especial para describir la creación y aniquilación de partículas.
Ecuación de Bethe-Salpeter
La ecuación de Bethe-Salpeter es una ecuación integral que describe la función de onda de un par de partículas que interactúan mediante un campo mediador. En términos generales, se puede escribir como:
\[
\chi(p, P) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} K(p, k, P) \chi(k, P)
\]
Aquí, χ(p, P) es la función de onda Bethe-Salpeter, que depende de los momentos relativos p y el impulso total del sistema P. K(p, k, P) es el núcleo de la interacción, que encapsula la dinámica de la interacción mediada por el campo de gauge, en este caso, el fotón.
Aplicación en la QED
En el contexto de la QED, la ecuación de Bethe-Salpeter se usa para describir estados ligados como el positronio. El positronio es un sistema cuántico compuesto por un electrón y un positrón que se atraen mediante la interacción electromagnética, mediada por fotones.
La versión relativista de la ecuación de Bethe-Salpeter en QED puede ser difícil de resolver directamente debido a su naturaleza integral y a la complejidad de las interacciones involucradas. Sin embargo, se pueden hacer aproximaciones para simplificar el problema.
Aproximación del Kernel
En muchos casos, el núcleo K(p, k, P) puede aproximarse utilizando series perturbativas. En la QED, la aproximación más común es el intercambio de un solo fotón entre el electrón y el positrón. Esto se puede representar como:
\[
K(p, k, P) \approx -i e^2 \gamma^\mu D_{\mu\nu}(p – k) \gamma^\nu
\]
Aquí, e es la carga del electrón, γμ y γν son matrices de Dirac que describen la interacción de espín, y Dμν es el propagador del fotón.
Esta aproximación simplifica el tratamiento de la interacción al considerar solo el primer término de la serie perturbativa, haciendo más manejable la resolución de la ecuación de Bethe-Salpeter.
Simplificación de la Ecuación
En el límite no relativista, la ecuación de Bethe-Salpeter se reduce a una forma similar a la ecuación de Schrödinger que se usa en mecánica cuántica para describir sistemas ligados. Esto se puede lograr mediante una expansión de la energía en términos de la velocidad relativa de las partículas, que es pequeña en comparación con la velocidad de la luz.
La forma resultante de la ecuación en el límite no relativista se puede expresar como:
\[
\left( \frac{p^2}{2m} – E \right) \psi(r) = \int d^3r’ V(r – r’) \psi(r’)
\]
Aquí, m es la masa reducida del sistema, p es el momento relativo, E es la energía total, y V(r – r’) es el potencial que describe la interacción entre el electrón y el positrón.
Esta simplificación permite utilizar técnicas bien desarrolladas de mecánica cuántica no relativista para resolver para el espectro de energía y las funciones de onda de sistemas ligados como el positronio.