La Teoría de Yang-Mills explica la mecánica cuántica mediante simetría gauge, describiendo interacciones fundamentales entre partículas subatómicas.
Teoría de Yang-Mills | Mecánica Cuántica, Simetría Gauge y Partículas
La teoría de Yang-Mills es una teoría fundamental en física teórica que se enmarca en el contexto de la mecánica cuántica y la teoría de campos. Esta teoría es crucial para entender la interacción de partículas subatómicas mediadas por las fuerzas fundamentales, especialmente las que no son de gravedad.
Simetría Gauge
Uno de los conceptos más importantes en la teoría de Yang-Mills es la simetría gauge. En términos sencillos, una simetría gauge es una propiedad de un sistema en el que las leyes físicas no cambian bajo ciertos tipos de transformaciones locales. Esto significa que es posible cambiar ciertos parámetros del sistema de una manera específica sin alterar las observaciones físicas.
Más formalmente, una simetría gauge se describe mediante un grupo de Lie, que es un grupo continuo de transformaciones que pueden ser parametrizadas por un conjunto de números continuos. El grupo de simetría de la teoría electromagnética, por ejemplo, es U(1), que considera la fase de la función de onda como un parámetro que puede variar localmente sin afectar el campo electromagnético.
Base Matemática
La teoría de Yang-Mills generaliza estas ideas al considerar grupos de simetrías más complejos, como SU(2) y SU(3). La teoría fue propuesta por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1954 para extender el concepto de simetría U(1) del electromagnetismo al caso de núcleos atómicos. En términos matemáticos, la teoría de Yang-Mills usa conceptos avanzados como:
Un aspecto clave de la teoría de Yang-Mills es el campo de gauge, \(\mathcal{A}\), que se asocia a cada punto del espacio-tiempo y se transforma de manera específica bajo una transformación del grupo de simetría:
\[
\mathcal{A}’_{\mu} = U \mathcal{A}_{\mu} U^{-1} + \frac{1}{g} (\partial_{\mu} U) U^{-1}
\]
Aquí, \(\mathcal{A}_{\mu}\) representa el campo de gauge original, \(U\) es una transformación del grupo de simetría, y \(g\) es la constante de acoplamiento que mide la fuerza de la interacción.
Campo de Fuerza y Autointeracciones
El lagrangiano de la teoría de Yang-Mills se construye utilizando el tensor de campo de fuerza \(F_{\mu \nu}\), que se define como:
\[
F_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \mathcal{A}_{\nu} – \partial_{\nu} \mathcal{A}_{\mu} + g [\mathcal{A}_{\mu}, \mathcal{A}_{\nu}]
\]
Donde el término \(g [\mathcal{A}_{\mu}, \mathcal{A}_{\nu}]\) representa las autointeracciones del campo de gauge, algo que no existe en la teoría del electromagnetismo clásico.
El lagrangiano de Yang-Mills tiene la forma:
\[
\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}
\]
Este lagrangiano es invariante bajo la transformación de gauge, lo que refleja la simetría fundamental de la teoría. La invariancia de gauge es una característica esencial que garantiza que las teorías de fuerzas fundamentales sean consistentemente formuladas y tengan predicciones verificables.
Aplicaciones en Física de Partículas
La teoría de Yang-Mills ha tenido un impacto profundo en la física de partículas y es la base de nuestro entendimiento moderno de las interacciones fundamentales. Específicamente, el modelo estándar de la física de partículas está construido sobre las teorías de gauge Yang-Mills con los grupos de simetría SU(3)_C x SU(2)_L x U(1)_Y. Cada uno de estos grupos de simetría describe una de las tres fuerzas no gravitacionales:
Cuantización y Anomalías
Uno de los desafíos más significativos en las teorías de Yang-Mills es el proceso de cuantización. Cuantizar una teoría de gauge implica convertirla de una descripción clásica a una cuántica, donde las cantidades físicas pueden tener valores discretos. Sin embargo, este procedimiento puede ser complicado debido a una ocurrencia conocida como anomalías.
Las anomalías son términos que aparecen cuando se intenta cuantizar una teoría de gauge y que rompen la simetría gauge del sistema. Para el modelo estándar, es crucial que las anomalías se cancelen, asegurando que la teoría sea coherente y libre de infinitos no físicos.