Teoría de Placas Mindlin-Reissner | Análisis de Esfuerzos y Precisión

Teoría de Placas Mindlin-Reissner: Análisis de esfuerzos y precisión en placas gruesas, explicaciones detalladas y aplicaciones en ingeniería estructural.

Teoría de Placas Mindlin-Reissner | Análisis de Esfuerzos y Precisión

La teoría de placas de Mindlin-Reissner es una extensión fundamental de la teoría clásica de placas de Kirchhoff-Love. Esta teoría es crucial para el análisis de esfuerzos y deformaciones en estructuras de placas gruesas, donde la suposición de que las secciones normales a la superficie media antes de la deformación permanecen normales después de ésta, como se presupone en la teoría de Kirchhoff-Love, no es válida.

Bases de la Teoría

La teoría de placas de Mindlin-Reissner incluye los efectos del corte transversal y la deformación por cortante, lo cual es esencial para modelar el comportamiento mecánico real de placas gruesas. Esto la convierte en una herramienta útil en el diseño y análisis de estructuras en ingeniería civil, mecánica y aeroespacial.

Desplazamientos: En esta teoría, los desplazamientos en una placa pueden descomponerse en desplazamientos lineales y rotacionales.

Deformaciones por Cortante: Considera que las secciones normales no permanecen normales después de la deformación, sino que se descomponen en componentes de corte transversal y rotación.

Teorías Utilizadas

La teoría de Mindlin-Reissner se basa en varias suposiciones y relaciones fundamentales:

1. Hipótesis Cinemática: La teoría presupone que el desplazamiento a lo largo de la superficie media de la placa (u, v) y el desplazamiento transversal (w) están relacionados de forma lineal con respecto a la posición en la dirección del espesor (z).
2. Relaciones de Deformación:
   $$\begin{align*} \varepsilon_{xx} &= \frac{\partial u}{\partial x} + z\frac{\partial \theta_x}{\partial x}, \\ \varepsilon_{yy} &= \frac{\partial v}{\partial y} + z\frac{\partial \theta_y}{\partial y}, \\ \varepsilon_{xy} &= \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} + z\left(\frac{\partial \theta_x}{\partial y} + \frac{\partial \theta_y}{\partial x}\right). \end{align*}$$

Formulaciones Matemáticas

La ecuación fundamental de la teoría de Mindlin-Reissner surge de la variación de la energía potencial total de la placa. Esto incluye tanto las deformaciones por flexión como las deformaciones por cortante. Las ecuaciones de equilibrio pueden escribirse como:

$$\frac{\partial N_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial N_{xy}}{\partial y} + q_x = 0$$

$$\frac{\partial N_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial N_{xy}}{\partial x} + q_y = 0$$

$$\frac{\partial M_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial M_{xy}}{\partial y} – Q_{x} = 0$$

$$\frac{\partial M_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial M_{xy}}{\partial x} – Q_{y} = 0$$

Aquí, $N_{xx}$, $N_{yy}$, y $N_{xy}$ son los esfuerzos normales y de cortante en la placa; $M_{xx}$, $M_{yy}$, y $M_{xy}$ son los momentos; $Q_{x}$ y $Q_{y}$ son los esfuerzos cortantes; y $q_x$ y $q_y$ son las cargas distribuidas en las direcciones $x$ y $y$, respectivamente.

Relaciones Constitutivas

Las relaciones constitutivas describen cómo los esfuerzos y deformaciones se relacionan entre sí en una placa de Mindlin-Reissner. Estas relaciones pueden expresarse como:

$N_{xx} = D \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \nu \frac{\partial v}{\partial y} \right)$

$N_{yy} = D \left( \frac{\partial v}{\partial y} + \nu \frac{\partial u}{\partial x} \right)$

$N_{xy} = G \left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right)$

$Q_{x} = \kappa G\left( \frac{\partial w}{\partial x} – \theta_x \right)$

$Q_{y} = \kappa G\left( \frac{\partial w}{\partial y} – \theta_y \right)$

En estas relaciones, $D$ es la rigidez flexural de la placa, $G$ es el módulo de rigidez transversal, $\nu$ es el coeficiente de Poisson, y $\kappa$ es un factor de corrección por cortante.

Análisis de Esfuerzos

El análisis de la placa bajo la teoría de Mindlin-Reissner permite encontrar tanto los esfuerzos internos como el desplazamiento de la placa bajo diferentes condiciones de carga. Normalmente, el proceso comienza resolviendo las ecuaciones de equilibrio para encontrar los desplazamientos $u$, $v$, y $w$, y después calculando los esfuerzos a partir de los desplazamientos y las relaciones constitutivas.

Este proceso tiene algunas etapas clave:

1. Definición de la Geometría y Condiciones de Contorno: Especificar la forma de la placa, su espesor, material y las condiciones de apoyo.
2. Aplico de Cargas: Determinar las fuerzas externas que actúan sobre la placa, como cargas uniformes o concentradas.
3. Resolución de Ecuaciones Diferenciales: Usar métodos numéricos o analíticos para resolver las ecuaciones diferenciales de equilibrio obteniendo los desplazamientos.
4. Cálculo de Esfuerzos: Una vez que se tienen los desplazamientos, se calculan los esfuerzos normales, cortantes y momentos utilizando las relaciones constitutivas.