Teorema de Transporte de Reynolds: Explora el flujo de fluidos y su conservación, y aprende análisis detallado de sistemas dinámicos en física. Fundamental para ingeniería.
Teorema de Transporte de Reynolds | Flujo de Fluidos, Conservación y Análisis
El teorema de transporte de Reynolds es una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos que vincula los principios de conservación de masa, momento y energía en el análisis de flujos de fluidos. Este teorema lleva el nombre del científico Osborne Reynolds y es esencial para comprender cómo se comportan los fluidos en movimiento.
Fundamentos del Teorema de Transporte de Reynolds
El teorema de transporte de Reynolds se puede formular en términos generales para una propiedad \( \phi \) de un fluido. Esta propiedad podría ser masa, momentum lineal, momentum angular, energía, etc. Para derivar el teorema, primero consideramos una propiedad escalar \( B \) que está distribuida en el volumen de un fluido. \( B \) es el producto de una densidad \( b \) y el volumen de control \( V \):
\[ B = \int_{V} b dV \]
Consideramos también un volumen de control fijo en el espacio a través del cual fluye el fluido. En el contexto del teorema de transporte de Reynolds, diferenciamos entre el volumen de control (fijo) y el sistema (un conjunto de partículas fluidas que se mueven y deforman).
Derivación del Teorema
El teorema de transporte de Reynolds establece que para cualquier propiedad B del fluido (como masa, momentum o energía), la tasa de cambio de B para el sistema es igual a la tasa de cambio de B dentro del volumen de control más el flujo neto de B a través de la superficie del volumen de control. Matematicamente, esto se expresa como:
\[ \frac{dB_{sist}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} b dV + \int_{S} b \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} \]
Donde:
Aplicaciones en la Conservación de Masa
Una aplicación importante del teorema de transporte de Reynolds es en la conservación de masa. Si tomamos la propiedad \( B \) como la masa \( m \), y considerando que la densidad del fluido es \( \rho \), tenemos:
\[ m = \int_{V} \rho dV \]
Aplicando el teorema de transporte de Reynolds:
\[ \frac{dm_{sist}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho dV + \int_{S} \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} \]
En condiciones estacionarias, la tasa de cambio temporal de masa dentro del volumen de control es cero (\( \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho dV = 0 \)), y por lo tanto, el teorema se reduce a la ecuación de continuidad:
\[ 0 = \int_{S} \rho \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} \]
Esto significa que la cantidad de masa que entra en el volumen de control debe ser igual a la cantidad de masa que sale de él, un principio fundamental en los análisis de flujo de fluidos.
Conservación de Momento
Considerando ahora el momentum lineal (propiedad B) de una parcela de fluido, se puede usar el teorema de transporte de Reynolds para derivar las ecuaciones de cantidad de movimiento. Si definimos el momentum lineal como:
\[ \mathbf{P} = \int_{V} \rho \mathbf{v} dV \]
y aplicamos el teorema de transporte de Reynolds:
\[ \frac{d\mathbf{P}_{sist}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} \rho \mathbf{v} dV + \int_{S} \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot d\mathbf{A}) \]
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la tasa de cambio del momentum lineal es igual a la suma de las fuerzas externas actuando sobre el sistema:
\[ \frac{d\mathbf{P}_{sist}}{dt} = \mathbf{F}_{ext} \]
Esto nos permite establecer las ecuaciones de cantidad de movimiento en un volumen de control. Estas ecuaciones son fundamentales para el análisis de problemas en dinámica de fluidos, como el comportamiento de aviones, automóviles, y el flujo en tuberías.
Conservación de Energía
Cuando la propiedad B es la energía total, se puede aplicar el mismo enfoque. La energía puede incluir componentes de energía cinética, potencial y térmica. Definiendo la energía total \( E \) como:
\[ E = \int_{V} e dV \]
Donde \( e \) es la densidad de energía, y aplicando el teorema de transporte de Reynolds:
\[ \frac{dE_{sist}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V} e dV + \int_{S} e \mathbf{v} \cdot d\mathbf{A} \]
Este principio es fundamental para analizar la transferencia de energía en sistemas de fluidos y permite la formulación de la primera ley de la termodinámica para un volumen de control.