Teorema de la Circulación de Kelvin

El Teorema de la Circulación de Kelvin explica la conservación de la vorticidad en fluidos, clave para entender estabilidad y dinámica en física.

Teorema de la Circulación de Kelvin | Estabilidad, Vorticidad y Conservación

Teorema de la Circulación de Kelvin: Estabilidad, Vorticidad y Conservación

En el fascinante mundo de la física de fluidos, el Teorema de la Circulación de Kelvin ocupa un lugar especial debido a su relevancia en la comprensión de la dinámica de los fluidos y la formación de estructuras complejas en el flujo. Este teorema, formulado por el físico escocés William Thomson, también conocido como Lord Kelvin, es fundamental para el estudio de la estabilidad, la vorticidad y la conservación en sistemas de fluidos.

Conceptos Básicos

Para entender el Teorema de la Circulación de Kelvin, primero es esencial familiarizarse con algunos conceptos fundamentales de la dinámica de fluidos:

Fluido: Una sustancia que puede fluir y adaptarse a la forma de un recipiente, es decir, líquidos y gases.

Circulación: Se define como la integral de línea del campo de velocidad alrededor de una curva cerrada. Matemáticamente, se expresa como $ \Gamma = \oint_{C} \vec{v} \cdot d\vec{r} $, donde $ \vec{v} $ es el vector de velocidad y $ d\vec{r} $ es el vector diferencial a lo largo de la curva $ C $.

Vorticidad: Es una medida de la rotación de un fluido y se define como el rotor del campo de velocidad, es decir, $ \vec{\omega} = \nabla \times \vec{v} $.

El Teorema de la Circulación de Kelvin establece que, en un flujo incompresible y de un fluido ideal (sin viscosidad), la circulación alrededor de una curva cerrada que se mueve con el fluido permanece constante en el tiempo. Esto se puede expresar matemáticamente como:

$\frac {d\Gamma}{dt} = 0$

Esta ecuación implica que, para un fluido sin efectos viscosos y no afectado por fuerzas externas (excepto la presión y las fuerzas conservativas como la gravedad), la circulación es una cantidad conservada.

Implicaciones y Estabilidad

El teorema tiene implicaciones importantes para la estabilidad de los sistemas de fluidos y la formación de patrones de vorticidad. En condiciones ideales, la conservación de circulación significa que las estructuras vórtices en el fluido no se descomponen ni cambian de forma. Este hecho es crucial en la meteorología y en el estudio de turbulencias donde estructuras como ciclones y anticiclones mantienen su forma y energía a lo largo del tiempo.

Aplicación en la Vorticidad

Dado que la vorticidad $ \vec{\omega} $ está relacionada con la rotación del fluido, podemos derivar otras propiedades importantes partiendo del Teorema de la Circulación de Kelvin. Si tomamos una pequeña área cerrada dentro del fluido, A, y aplicamos el teorema de Stokes, obtenemos:

\[ \Gamma = \oint_{C} \vec{v} \cdot d\vec{r} = \int_{A} (\nabla \times \vec{v}) \cdot d\vec{A} = \int_{A} \vec{\omega} \cdot d\vec{A} \]

Esto muestra una conexión directa entre la circulación y la vorticidad. En un flujo ideal, la conservación de circulación implica que la vorticidad promedio sobre cualquier área material (una área que se mueve con el fluido) también se conserva en el tiempo.

Conservación de la Circulación

Un punto clave es que la conservación de la circulación es una propiedad que depende de las condiciones del flujo. En un fluido real, las condiciones ideales son raramente alcanzadas debido a efectos viscosos, disipación de energía y presencia de fuerzas externas. Sin embargo, en muchos casos prácticos, y especialmente a escalas grandes como en la atmósfera terrestre, la circulación se conserva en buena aproximación.

Este principio ayuda a explicar fenómenos como la longevidad de grandes estructuras vórtices en la atmósfera o en los océanos. Los remolinos, ciclones y anticiclones se mantienen coherentes debido a la conservación aproximada de la circulación.

Ejemplo 1: En la atmósfera, los ciclones y anticiclones son ejemplos clásicos de estructuras donde la circulación se mantiene aproximadamente constante debido a la falta de viscosidad significativa y a la gran escala de los sistemas.

Ejemplo 2: En un flujo idealizado dentro de una tubería sin fricción, la circulación alrededor de cualquier sección transversal será igual a la circulación en cualquier otra sección aguas abajo o aguas arriba, reflejando la conservación de la circulación.

Formulación Matemática

La formulación matemática más rigurosa del Teorema de la Circulación de Kelvin requiere el uso de las ecuaciones de Euler para un fluido incompresible. Las ecuaciones de Euler para un fluido son:

\[
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{f}
\]

donde $ \vec{v} $ es la velocidad, $ p $ es la presión, $ \rho $ es la densidad del fluido y $ \vec{f} $ representa fuerzas de cuerpo como la gravedad. Utilizando estas ecuaciones y asumiendo un fluido ideal y sin fuerzas no conservativas:

\[
\frac{d}{dt} \oint_{C(t)} \vec{v} \cdot d\vec{r} = 0
\]