La rotación de Wigner en mecánica cuántica analiza cómo las transformaciones de Lorentz afectan partículas en movimiento, crucial para la teoría del espín.
Rotación de Wigner | Mecánica Cuántica y Transformaciones de Lorentz
En el campo de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad, la rotación de Wigner juega un papel crucial al considerar cómo se comportan las partículas subatómicas cuando se someten a transformaciones de Lorentz. Vamos a explorar qué es esta rotación, en qué teorías se basa y cómo se describen matemáticamente.
Teoría de la Relatividad y Transformaciones de Lorentz
La teoría de la relatividad de Albert Einstein cambió nuestra comprensión del espacio y el tiempo. Según esta teoría, las leyes de la física son las mismas para todos los observadores inerciales, sin importar su velocidad relativa. Las transformaciones de Lorentz son un conjunto de ecuaciones que describen cómo se transforman las coordenadas espaciales y temporales entre dos marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno respecto al otro.
Las transformaciones de Lorentz se representan matemáticamente como sigue:
\[
x’ = \gamma (x – vt)
\]
\[
t’ = \gamma \left(t – \frac{vx}{c^2}\right)
\]
donde:
- x, t: Coordenadas espaciales y temporales en el primer marco de referencia.
- x’, t’: Coordenadas espaciales y temporales en el segundo marco de referencia.
- v: Velocidad relativa entre los dos marcos de referencia.
- c: Velocidad de la luz en el vacío.
- γ = 1 / sqrt(1 – v2/c2): Factor de Lorentz.
Mecánica Cuántica y Espín
La mecánica cuántica es una rama de la física que describe el comportamiento de las partículas a nivel subatómico. Una de las propiedades fundamentales de las partículas en mecánica cuántica es el espín. El espín es una forma de momento angular intrínseco que poseen partículas tales como electrones, protones y neutrones.
El espín de una partícula se describe utilizando un vector de espín en un espacio de Hilbert, el cual se transforma de manera específica bajo la acción de las transformaciones de Lorentz. Aquí es donde entra en juego la rotación de Wigner.
Rotación de Wigner
La rotación de Wigner, en términos simples, es un tipo de rotación que se produce en el espacio de espín de una partícula cuando se aplican sucesivamente dos transformaciones de Lorentz no colineales. Matemáticamente, la rotación de Wigner se puede expresar como:
\[ R_W = A(\beta)^{-1} \Lambda(\alpha) A(\beta) \]
donde:
- \( A(\beta) \): Matriz de transformación de Lorentz para una velocidad β.
- \( \Lambda(\alpha) \): Matriz de transformación de Lorentz para una velocidad α.
- \( A(\beta)^{-1} \): Matriz inversa de \( A(\beta) \).
Aplicaciones y Ejemplos
Para comprender mejor la rotación de Wigner, consideremos un ejemplo práctico. Supongamos que tenemos una partícula en reposo en el marco de referencia A. Aplicamos una transformación de Lorentz para movernos a un marco de referencia B que se mueve a una velocidad v en la dirección x. Luego aplicamos una segunda transformación de Lorentz para movernos a un marco de referencia C que se mueve a una velocidad w en la dirección y en el marco de referencia B. La composición de estas dos transformaciones da como resultado una nueva transformación que puede incluir una rotación en el espacio de espín de la partícula. Esta rotación es precisamente la rotación de Wigner.