Relaciones de Maxwell: Aprende sus conceptos clave, su derivación matemática y cómo se aplican en la termodinámica para describir sistemas físicos.
Relaciones de Maxwell: Conceptos Clave, Aplicaciones y Derivación
En el ámbito de la física, y más específicamente en la termodinámica, las relaciones de Maxwell son un conjunto de ecuaciones muy importantes que vinculan varias propiedades termodinámicas de un sistema. Estas relaciones derivan de las ecuaciones de estado y de las energías potenciales termodinámicas. En este artículo, examinaremos los conceptos clave, las teorías subyacentes y la derivación de estas ecuaciones cruciales.
Conceptos Básicos
Las relaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones parciales que se obtienen de las propiedades de las segundas derivadas de las funciones potenciales termodinámicas. Para entender estas relaciones, es fundamental estar familiarizado con términos como energía interna (U), entalpía (H), energía libre de Helmholtz (A) y energía libre de Gibbs (G). A continuación, se presentan sus definiciones:
- Energía Interna (U): Es una función que describe la energía total del sistema en función de sus variables naturales, normalmente la entropía (S) y el volumen (V). Se define como: U(S, V).
- Entalpía (H): Es la energía interna más el producto de la presión (P) y el volumen (V). Matemáticamente: H = U + PV, y sus variables naturales son la entropía (S) y la presión (P), es decir: H(S, P).
- Energía Libre de Helmholtz (A): Es la energía interna menos el producto de la temperatura (T) y la entropía (S). Se define como: A = U – TS, con variables naturales T y V, es decir: A(T, V).
- Energía Libre de Gibbs (G): Es la entalpía menos el producto de la temperatura y la entropía. Se expresa como: G = H – TS = U + PV – TS, con variables naturales T y P, es decir: G(T, P).
Teorías Subyacentes
Las relaciones de Maxwell se derivan del hecho de que las derivadas parciales cruzadas de funciones continuas de múltiples variables son iguales. Esta propiedad constituye el fundamento matemático de las equivalencias de Maxwell.
Considere una función continua f(x, y) que es dos veces diferenciable. Según el teorema de Schwarz, las derivadas parciales cruzadas son iguales, es decir:
\(\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\)
Aplicando este concepto a las potenciales termodinámicas, derivamos las relaciones de Maxwell.
Derivación de las Relaciones de Maxwell
Vamos a derivar las cuatro relaciones de Maxwell a partir de los potenciales termodinámicos. Empezamos con la ecuación de la energía interna (U) en términos de entropía (S) y volumen (V):
\(dU = TdS – PdV\)
Aplicando las segundas derivadas cruzadas, obtenemos:
\(\frac{\partial T}{\partial V} = -\frac{\partial P}{\partial S}\)
Esta es la primera relación de Maxwell.
Puedes realizar un procedimiento similar con las otras tres funciones potenciales:
Para la entalpía (H):
\(dH = TdS + VdP\)
Aquí, derivamos:
\(\frac{\partial T}{\partial P} = \frac{\partial V}{\partial S}\)
Para la energía libre de Helmholtz (A):
\(dA = -SdT – PdV\)
Derivamos:
\(\frac{\partial S}{\partial V} = \frac{\partial P}{\partial T}\)
Finalmente, para la energía libre de Gibbs (G):
\(dG = -SdT + VdP\)
Obtenemos la última relación de Maxwell:
\(\frac{\partial S}{\partial P} = -\frac{\partial V}{\partial T}\)
Aplicaciones de las Relaciones de Maxwell
Las relaciones de Maxwell son extremadamente útiles para derivar propiedades termodinámicas que no son fácilmente medibles a partir de otras que sí lo son. Por ejemplo, al conocer las capacidades caloríficas y las propiedades P-V-T (presión-volumen-temperatura) de un sistema, podemos utilizar estas relaciones para obtener las derivadas que describen cómo cambian la entropía y otras propiedades con respecto a cambios en la presión y la temperatura.
Además, las relaciones de Maxwell se aplican en áreas tan variadas como la física de materiales, la química y la ingeniería, permitiendo a los científicos y los ingenieros diseñar y analizar sistemas termodinámicos de manera más eficiente.