Principio de Superposición | Fundamentos y Ejemplos

Principio de Superposición: Fundamentos y Ejemplos | Aprende cómo se combinan las ondas en física para entender fenómenos como la interferencia y la resonancia.

El principio de superposición es un concepto fundamental en física y matemáticas, utilizado en diversas áreas como la mecánica cuántica, la teoría de circuitos, y las ondas, entre otras. Este principio establece que, para sistemas lineales, la respuesta total a múltiples estímulos simultáneos es igual a la suma de las respuestas individuales a cada estímulo por separado. En otras palabras, si un sistema es afectado por diferentes factores, la influencia total puede calcularse sumando las influencias de cada factor individualmente.

Fundamentos del Principio de Superposición

El principio de superposición es aplicable sólo a sistemas lineales. Un sistema lineal es aquel en el que las ecuaciones que lo describen son de primer orden, es decir, no contienen términos que impliquen productos de variables dependientes, ni potencias mayores a uno. Dichos sistemas obedecen a la propiedad de homogeneidad y aditividad, lo que significa que una combinación lineal de entradas produce una combinación lineal correspondiente de salidas.

Matemáticamente, si consideramos un sistema que esté gobernado por una ecuación diferencial de la forma:

L(f(x)) = g(x),

donde L es una operación lineal, entonces la suma de soluciones $f_1(x)$ y $f_2(x)$ correspondientes a $g_1(x)$ y $g_2(x)$ resp., dará lugar a una solución general para $g(x) = g_1(x) + g_2(x)$ . Es decir:

$L(f_1(x)) = g_1(x)$

$L(f_2(x)) = g_2(x)$

Entonces, $L(f_1(x) + f_2(x)) = g_1(x) + g_2(x)$ .

Ejemplos del Principio de Superposición

Ondas: Uno de los ejemplos más claros del principio de superposición se encuentra en la teoría de ondas. Si dos ondas se superponen en un punto en el espacio, la onda resultante en ese punto es la suma algebraica de las dos ondas. Esto se puede observar en el caso de las ondas de agua, las ondas de sonido o las ondas electromagnéticas.
Circuitos Eléctricos: El principio de superposición también es fundamental en la teoría de circuitos. En un circuito lineal, la corriente o el voltaje en cualquier punto del circuito debido a múltiples fuentes es la suma algebraica de las corrientes o voltajes debidos a cada fuente individualmente. Esto se puede aplicar usando las leyes de Kirchhoff y las técnicas de análisis de circuitos como el método de superposición.
Mecánica Cuántica: En la mecánica cuántica, el principio de superposición es esencial para la descripción de estados cuánticos. Un estado cuántico puede considerarse como una combinación lineal de otros estados. Esta propiedad permite el fenómeno de interferencia y es la base de muchas aplicaciones tecnológicas como la computación cuántica.

Superposición en Ondas

En el caso de las ondas, el principio de superposición es especialmente evidente. Considere dos ondas sinusoidales que se propagan en un medio. Las ecuaciones de estas ondas pueden escribirse como:

$y_1(x,t) = A_1 \sin(k_1 x – \omega_1 t)$

$y_2(x,t) = A_2 \sin(k_2 x – \omega_2 t)$

Donde $A_1$ y $A_2$ son las amplitudes, $k_1$ y $k_2$ son los números de onda, y $\omega_1$ y $\omega_2$ son las frecuencias angulares de las ondas.

Según el principio de superposición, si ambas ondas están presentes en el mismo medio, el desplazamiento total $y(x,t)$ será:

$y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t)$

Esto significa que en cualquier punto $x$ y en cualquier instante $t$ , el desplazamiento del medio es simplemente la suma algebraica de los desplazamientos causados por cada onda individualmente.

Superposición en Circuitos Eléctricos

La aplicación del principio de superposición en circuitos eléctricos es de particular utilidad cuando se tienen múltiples fuentes de voltaje o corriente. Para un circuito de este tipo, podemos analizar el efecto de cada fuente por separado, apagar todas las demás fuentes (reemplazándolas por sus resistencias internas si es necesario), y luego sumar los efectos individuales.

Consideremos un circuito simple con dos fuentes de voltaje $V_1$ y $V_2$ . Usando el principio de superposición, podemos encontrar la corriente en una resistencia $R$ analizando dos casos:

Solo $V_1$ activa: La corriente $I_1$ debida a $V_1$ .
Solo $V_2$ activa: La corriente $I_2$ debida a $V_2$ .

La corriente total $I$ a través de $R$ será:

$I = I_1 + I_2$

Este método de análisis permite simplificar problemas complejos de circuitos lineales debido a su naturaleza aditiva.

Continua en la siguiente entrega…