Oscilador Armónico Cuántico: Aprende sobre sus niveles de energía, la función de partición y los estados cuánticos esenciales en la mecánica cuántica.
Oscilador Armónico Cuántico | Niveles de Energía, Función de Partición y Estados Cuánticos
El oscilador armónico cuántico es uno de los sistemas más fundamentales en la mecánica cuántica debido a su similitud con muchos problemas físicos reales. Puede describir desde la vibración de moléculas hasta modos de vibración de sólidos. En este artículo, exploraremos los niveles de energía, la función de partición y los estados cuánticos del oscilador armónico cuántico.
Niveles de Energía
En mecánica cuántica, el oscilador armónico es descrito por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Sin embargo, para encontrar los niveles de energía, consideramos la versión independiente del tiempo:
\[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) \]
donde \(\hat{H}\) es el operador Hamiltoniano, \( \psi(x) \) es la función de onda y \( E \) son los niveles de energía. El Hamiltoniano para un oscilador armónico cuántico viene dado por:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \]
donde \( \hbar \) es la constante de Planck reducida, \( m \) es la masa de la partícula, \( \omega \) es la frecuencia angular y \( x \) es la posición.
Las soluciones a esta ecuación son funciones de onda del tipo:
\[ \psi_n(x) = N_n H_n(\sqrt{\alpha} x)e^{-\alpha x^2 / 2} \]
donde \( H_n \) son los polinomios de Hermite, \( N_n \) es una constante de normalización y \( \alpha = \frac{m \omega}{\hbar} \).
Los niveles de energía permitidos para el oscilador armónico cuántico son dados por:
\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \quad \text{con} \quad n = 0, 1, 2, \ldots \]
Estos niveles son discretos y están igualmente espaciados por \( \hbar \omega \), lo cual es una característica importante del sistema.
Función de Partición
La función de partición es una herramienta poderosa en la estadística cuántica porque nos permite calcular propiedades termodinámicas como la energía interna y la capacidad calorífica. La función de partición para un oscilador armónico cuántico a temperatura \( T \) está dada por:
\[ Z = \sum_n e^{-E_n/k_BT} \]
donde \( k_B \) es la constante de Boltzmann.
Utilizando los niveles de energía \( E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \), tenemos:
\[ Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega / k_B T} \]
Esta serie geométrica infinita puede ser sumada para obtener:
\[ Z = \frac{e^{-\hbar \omega / 2 k_B T}}{1 – e^{-\hbar \omega / k_B T}} \]
Esta expresión nos permite derivar otras cantidades termodinámicas. Por ejemplo, la energía promedio \( \langle E \rangle \) del sistema es:
\[ \langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z \]
donde \( \beta = \frac{1}{k_B T} \). Evaluando esta derivada obtenemos:
\[ \langle E \rangle = \frac{\hbar \omega}{2} + \frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega / k_B T} – 1} \]
Estados Cuánticos
En el oscilador armónico cuántico, los estados cuánticos son descritos por las funciones de onda \( \psi_n(x) \). Estos estados son ortogonales entre sí y forman una base completa en el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables.
Para \( n = 0 \), el estado fundamental, la función de onda es:
\[ \psi_0(x) = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha x^2 / 2} \]
Para \( n = 1 \), el primer estado excitado, tenemos:
\[ \psi_1(x) = \left( \frac{4\alpha^3}{\pi} \right)^{1/4} x e^{-\alpha x^2 / 2} \]
Y así sucesivamente para niveles superiores, cada función de onda incluye los polinomios de Hermite que describen la naturaleza oscilatoria del sistema. Estas funciones de onda no solo describen la probabilidad de encontrar una partícula en una posición determinada, sino que también portan información sobre la energía del estado particular del sistema.