Oscilación Amortiguada | Amortiguación Crítica, Amplitud y Decaimiento

Oscilación amortiguada: Aprende sobre la amortiguación crítica, cómo influye en la amplitud y el decaimiento del movimiento en sistemas oscilatorios.

En el estudio de las oscilaciones, un fenómeno muy interesante es la oscilación amortiguada. Este tipo de oscilación ocurre cuando un sistema oscilante pierde energía con el tiempo, usualmente debido a la fricción o resistencia. Dicho de otra manera, es una oscilación en la que la amplitud disminuye de manera gradual.

Conceptos Básicos

Para entender la oscilación amortiguada, primero debemos comprender algunos conceptos básicos:

Oscilación: Es el movimiento repetitivo de un sistema alrededor de un punto de equilibrio. Por ejemplo, un péndulo que va y viene.
Amplitud: La amplitud es la máxima distancia que el sistema se desvía de su posición de equilibrio.
Frecuencia: Es el número de oscilaciones que ocurren en una unidad de tiempo. Se mide en Hertz (Hz).
Período: Es el tiempo que tarda el sistema en completar una oscilación completa.

Amortiguación en Oscilaciones

La amortiguación es el proceso mediante el cual un sistema pierde energía a medida que oscila. Existen varios tipos de amortiguación:

Amortiguación Ligera: La amplitud del movimiento disminuye gradualmente, pero el sistema sigue oscilando.
Amortiguación Crítica: Es el punto en el que el sistema regresa a su posición de equilibrio tan rápido como sea posible sin oscilar. Este tipo de amortiguación es ideal en muchos sistemas de ingeniería, como los amortiguadores de autos.
Amortiguación Pesada: El sistema regresa a su posición de equilibrio lentamente y no oscila.

Teoría de la Oscilación Amortiguada

Un sistema oscilante amortiguado comúnmente se modela mediante una ecuación diferencial. La ecuación de movimiento para un oscilador amortiguado es:

m \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + k x(t) = 0

m: Masa del oscilador
b: Coeficiente de amortiguación
k: Constante del resorte
x(t): Desplazamiento en función del tiempo

La solución a esta ecuación depende del valor del coeficiente de amortiguación b. La ecuación característica asociada es:

m r² + b r + k = 0

Resolviendo esta ecuación cuadrática, obtenemos los valores propios r, que determinan el comportamiento del sistema:

r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4mk}}{2m}

Casos de Amortiguación

Sobreamortiguado (b² > 4mk): El sistema es sobreamortiguado cuando el coeficiente de amortiguación es alto. Retorna a su posición de equilibrio sin oscilar, pero más lento de lo que lo haría en el caso crítico.
Amortiguación Crítica (b² = 4mk): En este caso, el sistema retorna a su posición de equilibrio tan rápido como sea posible sin oscilaciones adicionales. Es la condición intermedia perfecta que previene tanto sobrereacciones como suboscilaciones.
Subamortiguado (b² < 4mk): Aquí el sistema oscila con una frecuencia decreciente. Es el caso más común de amortiguación ligera donde el sistema continúa oscilando a medida que su amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo.

Amplitud y Decaimiento

En una oscilación amortiguada, la amplitud del movimiento decayente puede ser descrita por una función exponencial. Para un oscilador subamortiguado, por ejemplo, la amplitud decrece de acuerdo a:

A(t) = A₀ e^-bt/(2m)

A(t): Amplitud en el tiempo t
A₀: Amplitud inicial
b: Coeficiente de amortiguación
m: Masa del oscilador

La constante de tiempo \tau es una medida del tiempo que toma la amplitud en decrecer a \(\frac{1}{e}\) (aproximadamente el 37%) de su valor original:

\tau = \frac{2m}{b}

Así, comprendemos que cuanto mayor sea la constante de amortiguación b, más rápido disminuye la amplitud del sistema oscilante. Esto es crucial en numerosos escenarios de ingeniería donde es esencial controlar el comportamiento dinámico de los sistemas.