Modelo Wess-Zumino-Witten en teoría cuántica de campos: análisis de topología, simetría y dinámicas. Comprende sus principios y aplicaciones fundamentales.
Modelo Wess-Zumino-Witten: Topología, Simetría y Dinámicas en Teoría Cuántica de Campos
El modelo Wess-Zumino-Witten (WZW) es un modelo significativo en la teoría cuántica de campos (QFT, por sus siglas en inglés) que involucra la topología, la simetría y la dinámica. Esta teoría proporciona una manera de entender aspectos profundos y complejos de las interacciones entre partículas fundamentales y campos. Desarrollado en los años 80, este modelo ha sido crucial en el estudio de teorías conformes de campos (CFT) en física teórica. En este artículo, exploraremos los fundamentos del modelo WZW, sus bases teóricas, y algunas de las fórmulas y conceptos clave que lo definen.
Fundamentos del Modelo Wess-Zumino-Witten
El modelo WZW surge al considerar un campo sigma no lineal que mapea una superficie bidimensional compacta \( \Sigma \) en un grupo de Lie compacto \( G \). Matemáticamente, esto puede ser representado por una acción estándar del campo sigma y un término adicional conocido como el término de Wess-Zumino.
La acción total del modelo WZW tiene la forma:
\( S_{WZW}(g) = S_{0}(g) + k \Gamma_{WZ}(g) \)
donde:
- \( S_{0}(g) \) es la acción de campo sigma no lineal estándar.
- \( k \) es un entero conocido como el nivel del modelo.
- \( \Gamma_{WZ}(g) \) es el término de Wess-Zumino, que introduce efectos topológicos adicionales.
Acción de Campo Sigma No Lineal
La acción de campo sigma no lineal \( S_{0}(g) \) se define sobre una superficie bidimensional \( \Sigma \) y está dada por:
\[
S_{0}(g) = \frac{1}{2\lambda^2} \int_{\Sigma} d^2x \, \text{Tr}(\partial_{\mu} g^{-1} \partial^{\mu} g)
\]
donde \( g: \Sigma \rightarrow G \) es un campo que toma valores en el grupo de Lie \( G \), \( \lambda \) es una constante de acoplamiento, y \( \partial_{\mu} \) representa las derivadas parciales con respecto a las coordenadas en la superficie.
El Término de Wess-Zumino
El término de Wess-Zumino \( \Gamma_{WZ}(g) \) introduce una componente adicional que no depende únicamente de las propiedades locales del campo \( g \), sino también de su topología global. Se define sobre un espacio tridimensional \( B \), cuya frontera es la superficie bidimensional \( \Sigma \).
\[
\Gamma_{WZ}(g) = \frac{1}{24\pi} \int_{B} d^3y \, \epsilon^{ijk} \text{Tr}(\partial_{i} g g^{-1} \partial_{j} g g^{-1} \partial_{k} g g^{-1})
\]
Aquí, \( \epsilon^{ijk} \) es el símbolo de Levi-Civita totalmente antisimpátrico en tres dimensiones. Este término es significativo porque le da al modelo WZW propiedades topológicas adicionales, al permitir configuraciones de campos que están relacionadas con clases topológicas del grupo de Lie \( G \).
Simetría Global y de Gauge
Uno de los aspectos más interesantes del modelo WZW es su rica estructura de simetría. Posee una simetría global bajo la transformación del grupo de Lie \( G \). Específicamente, si \( g(x) \) es un campo en el grupo \( G \), entonces la acción del modelo es invariante bajo la transformación global:
\[
g(x) \rightarrow U g(x) V^{-1}
\]
donde \( U \) y \( V \) son elementos constantes de \( G \). Esta invariancia global subraya la estructura simétrica intrínseca del modelo.
Además de esta simetría global, el modelo WZW también puede exhibir invariancia de gauge local bajo ciertos criterios, haciendo que el estudio de sus simetrías sea esencial para comprender la física subyacente y las predicciones del modelo.
Teorías Conformes de Campos
El modelo WZW es especialmente importante en el contexto de teorías conformes de campos (CFT). Las CFTs son teorías cuánticas de campos que son invariantes bajo transformaciones conformes. En dos dimensiones, la simetría conforme es mucho más extensa y rica, permitiendo una clasificación más detallada y un análisis profundo. El nivel \( k \) del modelo WZW corresponde a una constante central en el álgebra conforme de Virasoro, que es una piedra angular en la teoría conforme en dos dimensiones.