El Modelo de Zener explicado: una guía sobre viscoelasticidad, cómo los materiales responden al estrés y cómo sus propiedades cambian con el tiempo.
Modelo de Zener Explicado | Viscoelasticidad, Estrés y Dependencia del Tiempo
La viscoelasticidad es una propiedad fundamental de ciertos materiales que exhiben tanto comportamiento elástico como viscoso. Esto significa que estos materiales reaccionan a una fuerza aplicada de manera que no solo se deforman como una goma elástica, sino que también presentan una respuesta dependiente del tiempo, tal y como un líquido viscoso. El Modelo de Zener, también conocido como modelo de Kelvin-Voigt mejorado, es una representación conceptual utilizada para describir este comportamiento.
Teorías y Fundamentos
El comportamiento viscoelástico se entiende mejor al considerar dos componentes principales: la elasticidad y la viscosidad.
- Elasticidad: Es la propiedad que permite a un material deformarse de manera reversible cuando se aplica una fuerza y recuperar su forma original al eliminar la fuerza. Esto se describe mediante la ley de Hooke, que establece que el estrés (\(\sigma\)) en un material es directamente proporcional a la deformación (\(\epsilon\)): \(\sigma = E \epsilon\), donde \(E\) es el módulo de elasticidad o módulo de Young.
- Viscosidad: Es la propiedad que causa que un material fluya como un líquido cuando se le aplica una fuerza constante, mostrando una resistencia interna mediante el flujo. Esto se describe con la Ley de Newton de la viscosidad, donde el estrés cortante (\(\tau\)) es proporcional a la tasa de deformación (\(\dot{\gamma}\)): \(\tau = \eta \dot{\gamma}\), donde \(\eta\) es la viscosidad del material.
El modelo de Zener combina estos dos efectos incorporando un resorte y un amortiguador en paralelo, y otro resorte en serie con esta combinación.
Componentes del Modelo de Zener
Para entender mejor el modelo de Zener, primero consideraremos dos modelos, el modelo de Maxwell y el modelo de Kelvin-Voigt.
- Modelo de Maxwell: Consiste en un elemento elástico (resorte) y un elemento viscoso (amortiguador) conectados en serie. Este modelo captura bien el comportamiento viscoso pero falla al describir el comportamiento a corto plazo de los materiales elásticos.
- Modelo de Kelvin-Voigt: Consiste en un resorte y un amortiguador conectados en paralelo. Aunque describe bien el comportamiento elástico inmediato, no captura adecuadamente la relajación a largo plazo.
El Modelo de Zener toma lo mejor de ambos mundos al combinar un resorte en paralelo con un resorte y un amortiguador en serie.
La formulación matemática del modelo de Zener se deriva de la siguiente forma:
- El estrés total (\(\sigma\)) en el sistema es la suma de los esfuerzos en las dos configuraciones paralelas.
- La deformación total (\(\epsilon\)) es la misma en ambas partes del sistema paralelo.
- Para el resorte paralelo, el componente de estrés se define como: \(\sigma_s = E_1 \epsilon\).
- Para el resorte en serie con el amortiguador, la deformación se parte en dos componentes: \(\epsilon = \epsilon_r + \epsilon_v\), donde \(\epsilon_r\) es la deformación en el resorte y \(\epsilon_v\) es la deformación en el amortiguador.
- La deformación en el resorte en serie está dada por: \(\sigma_r = E_2 \epsilon_r\).
- La deformación en el amortiguador en serie se representa como: \(\sigma_v = \eta \frac{d\epsilon_v}{dt}\).
El estrés \(\sigma\) total del modelo de Zener se obtiene sumando las contribuciones de las dos rutas de deformación:
\[\sigma = \sigma_s + \sigma_r = E_1 \epsilon + E_2 \epsilon_r + \eta \frac{d\epsilon_v}{dt}\]
Combinando las ecuaciones del resorte y el amortiguador en serie:
\[\epsilon = \epsilon_{r} + \epsilon_{v}\]
\[\sigma_r = E_2 \epsilon_{r}\]
\[\sigma_v = \eta \frac{d\epsilon_{v}}{dt}\]
Podemos reordenar para encontrar \(\epsilon\), \(\epsilon_{r}\), y \(\epsilon_{v}\) en términos de \(\sigma\).
Finalmente, la ecuación constitutiva del modelo de Zener en términos de estrés y deformación es:
\[E_1 \epsilon + \eta \frac{d\epsilon}{dt} + E_1 \epsilon_{r} = \sigma\]
\[E_2 \epsilon_{r} = \sigma – \eta \frac{d\epsilon_{v}}{dt}\]
Al resolver esto, vemos que la combinación de estos factores nos da una buena aproximación a la viscoelasticidad de los materiales, capturando tanto la elasticidad instantánea como el flujo dependiente del tiempo.