El Modelo de Sherrington-Kirkpatrick describe la teoría de vidrios de espín y sistemas complejos, crucial para entender el comportamiento desordenado en física.
Modelo de Sherrington-Kirkpatrick
El modelo de Sherrington-Kirkpatrick es una propuesta teórica en el campo de la física de la materia condensada, específicamente en la teoría de vidrios de espín y sistemas complejos. Este modelo fue introducido en 1975 por David Sherrington y Scott Kirkpatrick con el objetivo de entender y describir las propiedades de los vidrios de espín, que son sistemas desordenados con una variedad de aplicaciones en física, química, biología e incluso en ciencias de la computación.
Teoría de Vidrios de Espín
La teoría de vidrios de espín es una rama de la física que estudia sistemas en los cuales los espines de las partículas son ordenados de forma desordenada, es decir, no presentan un orden magnético claro. En estos sistemas, los espines pueden interaccionar entre sí de manera tanto ferromagnética como antiferromagnética, lo cual conduce a una gran frustración y desorden. Un ejemplo clásico de estos materiales son los “vidrios de espín”, que presentan una magnetización sin un patrón discernible.
La complejidad de estos sistemas ha llevado a los científicos a desarrollar modelos teóricos que puedan explicar sus propiedades. Entre estos modelos se encuentra el modelo de Sherrington-Kirkpatrick, el cual ha sido esencial para el entendimiento de los vidrios de espín.
Fundamentos del Modelo de Sherrington-Kirkpatrick
El modelo de Sherrington-Kirkpatrick (SK) es una generalización de los modelos de Ising utilizados para estudiar sistemas magnéticos. En este modelo, se consideran N espines Si donde i varía de 1 a N y cada espín puede tomar valores de +1 o -1. Las interacciones entre los espines son descritas por un conjunto de matrices Jij que son variables aleatorias con una media cero y una varianza J2/N.
Hamiltoniano del Modelo SK
El Hamiltoniano del sistema, que representa la energía total del sistema, se describe de la siguiente manera:
\[ H = -\sum_{i < j} J_{ij} S_i S_j \]
Aquí:
En el modelo SK, los coeficientes de interacción Jij son distribuidos normalmente con una media \( \mu = 0 \) y una varianza \( \sigma^2 = J^2/N \). Estas condiciones resultan en un sistema altamente desordenado con numerosas configuraciones energéticas posibles.
Teoría de Réplicas
Para resolver el modelo SK y entender su distribución de energías en equilibrio, los físicos han recurrido a la “teoría de réplicas”. Esta técnica matemática permite calcular la función de partición del sistema mediante la introspección de varias copias (“réplicas”) del sistema original.
El método de réplicas implica calcular el valor esperado de la función de partición Z elevado a la n potencia y luego tomar el límite \( n \to 0 \). La función de partición está dada por:
\[ Z = \sum_{\{S\}} e^{-\beta H} \]
Aquí:
La técnica de réplicas permite evitar directamente las dificultades de promediar los logaritmos de la función de partición, en su lugar promediando directamente la potencia de la función de partición antes de tomar el límite \( n \to 0 \).
Soluciones y Matrices de Superposición
La solución del modelo SK mediante la teoría de réplicas lleva a la introducción de la “matriz de superposición” o “matriz overlap”, qab, la cual mide la similitud entre dos réplicas diferentes del sistema. Dicha matriz se define como:
\[ q_{ab} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} S_i^a S_i^b \]
Aquí, a y b son índices que identifican diferentes réplicas del sistema.