Modelo de Hubbard | Visión General, Importancia y Usos

Modelo de Hubbard: Visión general, importancia y usos en la física cuántica y sistemas de materiales. Aprenda su papel crucial en el estudio de superconductores.

El Modelo de Hubbard es una de las aproximaciones teóricas más influyentes en la física del estado sólido y la física de la materia condensada. Se utiliza para describir y entender las propiedades electrónicas de materiales complejos, especialmente aquellos que exhiben fenómenos como el magnetismo y la superconductividad. Este modelo fue propuesto originalmente por John Hubbard en 1963 y desde entonces ha sido una herramienta esencial en el estudio de sistemas de electrones fuertemente correlacionados.

Visión General del Modelo de Hubbard

El Modelo de Hubbard simplifica el complejo problema de muchos cuerpos en la física, enfocándose en la interacción entre los electrones en una red cristalina. Básicamente, considera dos efectos principales:

El movimiento de los electrones entre los sitios de la red (hipótese de itinerancia).
Las interacciones de repulsión entre los electrones cuando se encuentran en el mismo sitio (hipótese de interacción local).

Matemáticamente, el modelo se puede expresar mediante el siguiente Hamiltoniano:

\( H = -t \sum_{,\sigma} (c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + c_{j\sigma}^\dagger c_{i\sigma}) + U \sum_{i} n_{i\uparrow}n_{i\downarrow} \)

Aquí:

\( t \) es el término de salto que describe la energía asociada con el movimiento de un electrón entre los sitios i y j.
\( U \) es la interacción de repulsión de Coulomb cuando hay dos electrones en el mismo sitio.
\( c_{i\sigma}^\dagger \) y \( c_{i\sigma} \) son los operadores de creación y aniquilación de un electrón en el sitio i con espín \( \sigma \) respectivamente.
\( n_{i\sigma} = c_{i\sigma}^\dagger c_{i\sigma} \) es el número de operadores que cuenta electrón con espín \( \sigma \) en el sitio i.

Importancia del Modelo de Hubbard

El Modelo de Hubbard es crucial porque proporciona una estructura básica para estudiar diversos fenómenos físicos en materiales complejos. Algunos de los campos donde tiene relevancia son:

Magnetismo: El modelo ayuda a comprender cómo interactúan los momentos magnéticos en una red cristalina y cómo esas interacciones pueden llevar al ferromagnetismo o antiferromagnetismo.
Superconductividad: En particular, en los superconductores de alta temperatura, el Modelo de Hubbard es fundamental para explorar la formación de pares de electrones y la aparición de un estado superconductivo.
Sistemas de electrones fuertemente correlacionados: Estos son materiales donde las interacciones electrónicas no pueden ser ignoradas, y el modelo proporciona un marco para abordar estas interacciones de manera sistemática.
Propiedades electrónicas: El modelo permite el estudio de transiciones de fase electrónicas, como el paso de un metal a un aislante (transición de Mott).

Teorías Utilizadas en el Modelo de Hubbard

Para analizar el Modelo de Hubbard, los físicos han desarrollado diversas teorías y métodos. Algunas de las más utilizadas incluyen:

Teoría de Perturbaciones: Se utiliza cuando uno de los términos (ya sea t o U) es significativamente menor que el otro. Esto permite una expansión en serie para estudiar cómo uno de los efectos influye en el comportamiento del sistema.
Teoría del Campo Medio: En esta aproximación, las interacciones complejas de muchos cuerpos se reemplazan por un problema efectivo de partículas individuales. Esto simplifica análisis y cálculos.
Monte Carlo Cuántico: Método numérico poderoso para resolver modelos de muchos cuerpos como el Modelo de Hubbard, proporcionando soluciones aproximadas mediante simulaciones estocásticas.
Teoría del Campo Dinámico Medio (DMFT – Dynamic Mean Field Theory): Una técnica más avanzada que trata de capturar tanto los efectos de itinerancia como los de interacción de manera más equilibrada.

Formulas Clave del Modelo de Hubbard

Además del Hamiltoniano principal del modelo, hay otras expresiones y conceptos matemáticos clave que son esenciales para entender los diversos regímenes del Modelo de Hubbard:

Energía Cinética: La contribución de la itinerancia de los electrones se cuantifica por la expresión \( -t \sum_{,\sigma} (c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + c_{j\sigma}^\dagger c_{i\sigma}) \). Esto describe la tendencia de los electrones a deslocalizarse a lo largo de la red.
Energía Potencial: El término \( U \sum_{i} n_{i\uparrow}n_{i\downarrow} \) representa la repulsión entre dos electrones en el mismo sitio, favoreciendo una configuración donde los electrones tratan de evitarse.
Factor de Correlación: El grado en que las interacciones entre electrones afectan las propiedades del sistema se mide a menudo por el parámetro \( U/t \). Para valores altos de \( U/t \), predominan las interacciones, mientras que para valores bajos, la itinerancia es más importante.

Uno de los resultados interesantes del Modelo de Hubbard es la transición de Mott, una transición de fase donde un sistema metálico se convierte en un aislante como resultado de las interacciones electrónicas. Esto ocurre típicamente cuando \( U \) se convierte en significativamente mayor que \( t \). La transición de Mott puede expresar un punto crítico a través de parámetros como la función de distribución de densidad de estados \( \rho(E) \):

\( \rho(E) = \sum_k \delta(E – E_k) \)

En un sistema metálico, la densidad de estados en el nivel de Fermi \( E_F \) es diferente de cero, pero en un aislante de Mott, \( \rho(E_F) = 0 \), señalando una brecha en la estructura de bandas electrónicas debido a las interacciones fuertes.