Gas de Fermi: Estadísticas Cuánticas, Energía y Entropía. Aprende sobre el comportamiento de fermiones a bajas temperaturas y su relevancia en física.
Gas de Fermi: Estadísticas Cuánticas, Energía y Entropía
El gas de Fermi es un concepto fundamental en la física cuántica que describe el comportamiento de un conjunto de partículas fermiónicas, como electrones, protones y neutrones, que obedecen las estadísticas de Fermi-Dirac. A diferencia de los bosones, los fermiones siguen el principio de exclusión de Pauli, lo que significa que no pueden ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente. Este comportamiento tiene implicaciones importantes en la energía, la entropía y otras propiedades termodinámicas de los sistemas cuánticos.
Estadísticas de Fermi-Dirac
La estadística de Fermi-Dirac describe la distribución de partículas en función de la energía en un sistema de fermiones en equilibrio térmico. La probabilidad de que un estado cuántico de energía \(E_i\) esté ocupado por una partícula está dada por la función de distribución de Fermi-Dirac:
\[
f(E_i) = \frac{1}{e^{(E_i – \mu)/(k_B T)} + 1}
\]
Aquí:
Energía de Fermi
Uno de los conceptos clave en el estudio del gas de Fermi es la energía de Fermi, \(E_F\). Esta es la energía máxima que pueden alcanzar los fermiones a temperatura cero. En este estado, todos los estados cuánticos hasta la energía de Fermi están completamente ocupados, mientras que los estados con energía superior están vacíos.
La densidad de estados \(g(E)\) para un gas de electrones libres en tres dimensiones es proporcional a \(\sqrt{E}\). Entonces, la cantidad total de estados hasta una energía \(E_F\) se puede encontrar integrando la densidad de estados:
\[
N = \int_0^{E_F} g(E) dE
\]
Para un gas de electrones libres:
\[
g(E) \propto \sqrt{E}
\]
De esto, la energía de Fermi en tres dimensiones se puede calcular como:
\[
E_F = \left( \frac{3N}{\Omega} \right)^{2/3} \frac{\hbar^2}{2m}
\]
Aquí:
Energía Total y Calor Específico
A temperatura cero, la energía total \(E_{total}\) de un gas de Fermi es la suma de las energías de todas las partículas:
\[
E_{total} = \int_0^{E_F} E g(E) f(E) dE
\]
Para un gas ideal de Fermi, el calor específico a bajas temperaturas se comporta de manera diferente al de un gas clásico. A temperaturas cercanas al cero absoluto, el calor específico se incrementa linealmente con la temperatura:
\[
C_v \propto T
\]
Entropía
La entropía de un gas de Fermi también está influenciada por la distribución de Fermi-Dirac. A temperaturas muy bajas, la entropía está dominada por la excitación de partículas cerca de la superficie de Fermi. La entropía \(S\) se puede expresar en términos de la distribución de ocupación:
\[
S = -k_B \sum_i \left[ f(E_i) \ln f(E_i) + (1 – f(E_i)) \ln (1 – f(E_i)) \right]
\]
Este resultado muestra que la entropía es máxima cuando hay una mezcla igual de estados ocupados y vacíos, lo que ocurre a temperaturas altas. A temperaturas bajas, la mayoría de los estados están ocupados, excepto aquellos cerca de la energía de Fermi, lo que resulta en una menor entropía.
En resumen, el gas de Fermi es crucial para entender muchas propiedades de los materiales y sistemas cuánticos. Sus complejidades residen en la aplicación de la estadística de Fermi-Dirac y en el análisis de cómo estos principios afectan la energía, el calor específico y la entropía de un sistema de fermiones.