La Fórmula de Rankine: Explicación sobre resistencia de columnas, pandeo y estática. Aprende su importancia en la estabilidad estructural.
Fórmula de Rankine | Resistencia de Columnas, Pandeo y Estática
La resistencia de columnas es un tema crucial en el estudio de mecánica estructural e ingeniería civil. Una columna es un elemento estructural diseñado para soportar cargas, usualmente orientadas en la dirección de su eje longitudinal. Cuando estas cargas son excesivas, la columna puede entrar en un estado de pandeo, un fenómeno crítico que puede llevar al colapso de la estructura. Este artículo explora la Fórmula de Rankine como una herramienta fundamental para predecir el pandeo y asegurar la estabilidad estructural.
Conceptos Básicos
Para comprender la Fórmula de Rankine y su aplicación, es esencial familiarizarse con algunos conceptos y términos básicos:
- Esfuerzo: Es la fuerza por unidad de área aplicada sobre un material.
- Deformación: Es el cambio en la forma de un material en respuesta a un esfuerzo aplicado.
- Pandeo: Es una deformación lateral repentina que ocurre en columnas bajo carga axial.
Pandeo de Columnas
El pandeo es un fenómeno no lineal que ocurre cuando una columna larga y delgada carga su límite crítico de estabilidad. Cuando una columna se pandeará bajo una carga axial se puede predecir mediante varias teorías. Entre ellas, una de las más conocidas es la Teoría de Euler, sin embargo, esta es adecuada solo para columnas largas. Para columnas intermedias, la Fórmula de Rankine ofrece una solución más general.
Teoría de Euler vs. Fórmula de Rankine
Antes de abordar la Fórmula de Rankine, es útil repasar brevemente la Teoría de Euler para el pandeo de columnas largas. Según Euler, la carga crítica \( P_{\text{cr}} \) que causa el pandeo de una columna es:
\( P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 EI}{(KL)^2} \)
donde:
- \( E \) = Módulo de Elasticidad del material
- \( I \) = Momento de Inercia de la sección transversal de la columna
- \( L \) = Longitud efectiva de la columna
- \( K \) = Coeficiente de longitud efectiva, que depende de las condiciones de soporte
Si bien esta fórmula es efectiva para columnas largas, no es precisa para columnas de longitud intermedia. Aquí es donde la Fórmula de Rankine entra en juego.
Fórmula de Rankine
La Fórmula de Rankine combina la teoría del pandeo de Euler para columnas largas con la teoría de compresión simple para columnas cortas. Se expresa como:
\( \frac{1}{P} = \frac{1}{P_{\text{cr}}} + \frac{1}{P_{\text{sc}}} \)
donde:
- \( P \) = Carga crítica según Rankine
- \( P_{\text{cr}} \) = Carga crítica de Euler (columna larga)
- \( P_{\text{sc}} \) = Carga de compresión simple (columna corta), generalmente definida como \( P_{\text{sc}} = A \cdot \sigma_{\text{yc}} \), con \( A \) como área de la sección transversal y \( \sigma_{\text{yc}} \) el esfuerzo de compresión del material
Esto se puede reformular para expresar la carga crítica de Rankine de la siguiente manera:
\[
P = \frac{P_{\text{sc}} P_{\text{cr}}}{P_{\text{sc}} + P_{\text{cr}}}
\]
Es importante recordar que los valores de \( P_{\text{sc}} \) y \( P_{\text{cr}} \) dependen de las propiedades del material y de la geometría de la columna. La Fórmula de Rankine ofrece una estimación práctica para columnas con valores intermedios de esbeltez.
Esbeltez y Sucesión de Pandeo
El término “esbeltez” se refiere a la relación entre la longitud efectiva de la columna y el radio de giro de su sección transversal. Esta relación se expresa por el índice de esbeltez \( \lambda \):
\[
\lambda = \frac{L_{\text{ef}}}{r}
\]
donde:
- \( L_{\text{ef}} \) = Longitud efectiva de la columna
- \( r \) = Radio de giro de la sección transversal
El radio de giro \( r \) está definido como:
\[
r = \sqrt{\frac{I}{A}}
\]
donde:
- \( I \) = Momento de inercia de la sección transversal
- \( A \) = Área de la sección transversal
Un valor alto de \( \lambda \) implica una columna esbelta, propensa al pandeo a menores cargas, mientras que un valor bajo indica una columna robusta.
Manejo y Prevención del Pandeo
Prevenir el pandeo es vital para el diseño de estructuras seguras. Entre las técnicas comunes para reducir el riesgo se encuentran:
- Aumentar la rigidez: Incrementar la rigidez de la columna aumentando su dimensión transversal o modificando el material.
- Mejorar las condiciones de soporte: Utilizar soportes que restrinjan el movimiento y aumenten la estabilidad.
- Uso de refuerzos: Añadir elementos externos, como arriostramientos, para mejorar la resistencia lateral.
Estas estrategias, en combinación con el uso de fórmulas de diseño apropiadas como la Fórmula de Rankine, permiten a los ingenieros diseñar estructuras que mantienen su integridad estructural incluso bajo cargas significativas.