Flujo de Fanno: Entiende cómo el flujo compresible en conductos afecta la entropía y la mecánica de fluidos en aplicaciones prácticas de la ingeniería.
Flujo de Fanno: Mecánica de Fluidos, Flujo Compresible y Entropía
El flujo de Fanno es un concepto fundamental en la mecánica de fluidos, particularmente en el estudio del flujo compresible en conductos. Su análisis es crucial para la comprensión de los fenómenos que ocurren en diversas aplicaciones ingenieriles, como los sistemas de propulsión y el diseño de ductos para gases. Este artículo explora los principios básicos del flujo de Fanno, incluyendo las teorías y fórmulas utilizadas para describir este tipo de flujo.
Fundamentos del Flujo de Fanno
El flujo de Fanno se refiere al flujo unidimensional adiabático de un gas compresible a través de un conducto de área constante, donde solo la fricción es la fuente de pérdida de energía. Este flujo recibe su nombre en honor a Gino Fanno, quien realizó importantes contribuciones a su estudio. La principal característica de este tipo de flujo es la relación entre el cambio en las propiedades del gas, como la presión, la temperatura y la densidad, y la fricción a lo largo del conducto.
En términos matemáticos, el flujo de Fanno se analiza utilizando la ecuación de conservación de la masa, la ecuación de conservación de la energía y la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (momentum). Estas ecuaciones se combinan para formar un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen cómo varían las propiedades del gas a lo largo del conducto.
Teoría del Flujo de Fanno
Para comprender el flujo de Fanno, es importante familiarizarse con los siguientes conceptos y ecuaciones fundamentales:
\[ \dot{m} = \rho A v \]
donde:
- \(\dot{m}\) = tasa de flujo másico
- \(\rho\) = densidad del gas
- A = área de la sección transversal del conducto
- v = velocidad del gas
\[ \frac{dP}{dx} + \frac{d(\rho v^2)}{dx} = \tau_w \]
donde:
- \(\frac{dP}{dx}\) = gradiente de presión a lo largo del conducto
- \(\frac{d(\rho v^2)}{dx}\) = cambio en el momento lineal del gas
- \(\tau_w\) = esfuerzo de fricción en la pared del conducto
\[ \frac{d(T_s + \frac{v^2}{2})}{dx} = 0 \]
donde:
- Ts = entalpía estática del gas
- \(\frac{v^2}{2}\) = energía cinética por unidad de masa
Estas ecuaciones forman la base para el análisis de flujo de Fanno y permiten determinar cómo cambian las propiedades del gas como función de la longitud del conducto y el esfuerzo de fricción.
Relaciones Características del Flujo de Fanno
El análisis del flujo de Fanno implica estudiar cómo varían varias propiedades del flujo a lo largo del conducto. Estas propiedades incluyen la velocidad del gas, temperatura, presión, densidad y entropía. Una herramienta importante es el diagrama de Fanno, que muestra la relación entre estas propiedades a lo largo del conducto.
Para un flujo subsónico, a medida que el gas se desplaza por el conducto, la fricción causa un aumento en la temperatura y densidad del gas, y una disminución en su velocidad y presión. Para un flujo supersónico, el comportamiento es opuesto: la temperatura y densidad disminuyen, mientras que la velocidad y presión aumentan. En ambos casos, la entropía del gas siempre aumenta debido a las irreversibilidades causadas por la fricción.
Fórmulas Críticas del Flujo de Fanno
Las siguientes ecuaciones son fundamentales para el análisis del flujo de Fanno:
\[ \frac{dM}{dx} = -\frac{f L}{D} \frac{(1 – M^2)}{(1 + (\gamma – 1)/2 M^2)} \]
donde:
- M = número de Mach
- f = factor de fricción de Darcy-Weisbach
- L = longitud del conducto
- D = diámetro del conducto
- \(\gamma\) = razón de calores específicos (Cp/Cv)
\[ \frac{T}{T^*} = \frac{1 + (\gamma – 1)/2 M^2}{1 + (\gamma – 1)/2 (M^*)^2} \]
donde \(T^*\) y \(M^*\) representan las condiciones de estancamiento del flujo.
\[ \frac{P}{P^*} = \left( \frac{T}{T^*} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}} \]
\[ \frac{\rho}{\rho^*} = \left( \frac{T}{T^*} \right)^{\frac{1}{\gamma – 1}} \]
Entropía en el Flujo de Fanno
Uno de los aspectos más importantes del flujo de Fanno es el comportamiento de la entropía. En un proceso adiabático donde la fricción es la fuerza impulsora, la entropía siempre aumenta. Esta es una consecuencia directa del segundo principio de la termodinámica, que establece que en cualquier proceso irreversible, la entropía del sistema debe aumentar.
El aumento de la entropía en el flujo de Fanno puede calcularse usando la siguiente relación:
\[ \Delta s = s – s^* = R \ln \left( \frac{P^*}{P} \right)^{\frac{\gamma}{\gamma – 1}} \left( \frac{T}{T^*} \right) \]
donde:
Esta ecuación muestra cómo cambia la entropía en función de las propiedades del flujo a lo largo del conducto.