Figuras de Lissajous | Oscilación, Patrones y Análisis de Movimiento

Figuras de Lissajous: Aprende sobre oscilación, patrones y análisis de movimiento en física. Descubre cómo se forman y su aplicación en la ciencia.

Las figuras de Lissajous son representaciones gráficas de dos movimientos oscilatorios perpendiculares entre sí. Estas figuras son conocidas por su complejidad y belleza visual, y surgen cuando se enfrentan dos oscilaciones armónicas simples que están en diferentes fases y frecuencias. Este fenómeno tiene aplicaciones en varios campos de la física y la ingeniería, incluyendo el análisis de señales y la comunicación.

Principios Básicos de las Figuras de Lissajous

Las figuras de Lissajous se nombran en honor al físico francés Jules Antoine Lissajous, quien en 1857 las estudió extensivamente utilizando un dispositivo llamado espejo giratorio. Para generar estas figuras, uno puede usar un osciloscopio, que permite visualizar las ondas eléctricas en dos dimensiones: una señal se aplica al eje horizontal (X) y otra al eje vertical (Y).

La fórmula matemática básica para una figura de Lissajous se puede expresar como:

x(t) = A \* sin(a \* t + δ)
y(t) = B \* sin(b \* t)

donde:

x(t) y y(t) son las coordenadas de la figura en función del tiempo.

A y B son las amplitudes de las oscilaciones en los ejes X y Y, respectivamente.

a y b son las frecuencias angulares de las oscilaciones en los ejes X y Y, respectivamente.

δ es la diferencia de fase entre las dos oscilaciones.

t es el tiempo.

Las figuras resultantes dependen de la relación de frecuencias a/b y de la diferencia de fase δ.

Relación de Frecuencias

La relación de las frecuencias a/b determina la forma de la figura de Lissajous. Por ejemplo:

Si a/b = 1, la figura será una elipse cuando δ ≠ 0. Si δ = 0 o π, la figura será una línea recta con una pendiente dependiendo de las amplitudes A y B.

Si a/b = 2 o a/b = 1/2, se generan figuras cuya forma recuerda a un número 8 o un infinito.

Para relaciones de frecuencia más complejas, aparecen figuras de naturaleza más intrincada como patrones de nodo o formas dobles.

Tabla de Relación de Frecuencias y Formas

a/b = 1: Línea recta o elipse

a/b = 2: Número 8

a/b = 3: Tres lóbulos

a/b = 4: Cuatro lóbulos (cruz de Malta)

Estas figuras se vuelven cada vez más complejas a medida que aumenta la relación de frecuencia. Además, la precisión del dibujo de estas figuras depende mucho de la estabilidad de las frecuencias y la fase.

Fase y Diferencia de Fase

La fase y la diferencia de fase δ juegan un papel crucial en la forma final de las figuras de Lissajous. La fase es el ángulo en el punto de inicio de la oscilación, y la diferencia de fase es la diferencia entre las fases iniciales de las dos oscilaciones. Se puede ajustar esta diferencia para obtener distintas figuras, incluso si se mantienen constantes las frecuencias.

Por ejemplo:

Para δ = 0, la figura puede ser una línea recta si a/b = 1 o círculos si A = B y a/b = 1.

Para δ = π/2, puede formar una elipse cuando a = b y A ≠ B.

Si se varia la diferencia de fase progresivamente, se observa una transformación continua de la figura. Este principio se usa frecuentemente en análisis de Fourier y en diversas aplicaciones de procesamiento de señales.

Aplicaciones de las Figuras de Lissajous

Las figuras de Lissajous no solo son interesantes desde un punto de vista teórico, sino que también tienen muchas aplicaciones prácticas, tales como:

Medición de Frecuencia: En un osciloscopio, al comparar una señal de referencia conocida con otra cuya frecuencia se desea medir, la forma de la figura de Lissajous puede indicar la relación de frecuencias. Esto se utiliza ampliamente en la calibración y ajuste de instrumentos electrónicos.

Procesamiento de Señales: En telecomunicaciones y otras áreas de ingeniería, estas figuras ayudan a analizar la diferencia de fase y otras propiedades de las señales.

Artes y Visualización: Las figuras de Lissajous se utilizan a menudo en las artes visuales y en la creación de gráficos generativos debido a sus patrones estéticamente atractivos.