Explicación del Círculo de Mohr: teoría completa sobre el estrés, deformación y equilibrio, con ejemplos claros y fáciles de entender para principiantes en física.
Explicación del Círculo de Mohr | Teoría del Estrés, Deformación y Equilibrio
El Círculo de Mohr es una herramienta gráfica utilizada para representar el estado de estrés en un punto específico de un material. Es una representación conveniente y poderosa que simplifica la comprensión del estrés tridimensional mediante la proyección de tensiones en un plano bidimensional. En este artículo, exploraremos los conceptos fundamentales relacionados con el Círculo de Mohr, junto con las teorías subyacentes del estrés, la deformación y el equilibrio.
Conceptos Básicos de Estrés y Deformación
Estrés: El estrés es la fuerza interna que experimenta un material por unidad de área. Se puede expresar de manera formal mediante la siguiente fórmula:
\[
\sigma = \frac{F}{A}
\]
donde \( \sigma \) es el estrés, \( F \) es la fuerza aplicada y \( A \) es el área sobre la cual se aplica esta fuerza. Existen diferentes tipos de estrés, como el estrés normal y el estrés cortante. El estrés normal (\( \sigma \)) actúa perpendicularmente a la superficie, mientras que el estrés cortante (\( \tau \)) actúa tangencialmente.
Deformación: La deformación es la respuesta del material al estrés aplicado. Se refiere al cambio en la forma o tamaño del material y se puede medir como la proporción del desplazamiento respecto a la longitud original. La deformación (\( \epsilon \)) se puede expresar como:
\[
\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
\]
donde \( \Delta L \) es el cambio en la longitud y \( L_0 \) es la longitud original del material.
Teoría del Equilibrio
En física y en ingeniería estructural, el equilibrio es una condición en la que todas las fuerzas y momentos actuantes sobre un sistema están balanceados, resultando en un estado estable. Según la primera ley de Newton, un sistema está en equilibrio si la suma de todas las fuerzas y la suma de todos los momentos son iguales a cero. Esto se puede escribir matemáticamente como:
\[
\sum F = 0
\]
\[
\sum M = 0
\]
donde \( \sum F \) representa la suma de todas las fuerzas actuantes, y \( \sum M \) representa la suma de todos los momentos.
Representación del Estrés: El Círculo de Mohr
El Círculo de Mohr proporciona una forma de visualizar el estado de estrés transformado en un punto de un material. Para construir el Círculo de Mohr, se siguen los siguientes pasos:
- Identificar las tensiones normales (\( \sigma_x \), \( \sigma_y \)) y la tensión cortante (\( \tau \)) en el punto de interés.
- Calcular el centro del círculo y el radio del círculo.
El centro del círculo (\( C \)) se define como:
\[
C = \left( \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}, 0 \right)
\]
El radio \( R \) del círculo se encuentra utilizando la siguiente fórmula:
\[
R = \sqrt{\left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + (\tau)^2 }
\]
El Círculo de Mohr se dibuja en un plano con \( \sigma \) en el eje horizontal y \( \tau \) en el eje vertical. Los puntos de interés (\( \sigma_x, \tau \)) y (\( \sigma_y, -\tau \)) se marcan y se dibuja el círculo con el radio calculado.
Formulación y Análisis en el Círculo de Mohr
El Círculo de Mohr no solo facilita la visualización del estado de estrés, sino que también permite determinar las tensiones principales y las tensiones de corte máximas del material. Las tensiones principales (\( \sigma_1 \) y \( \sigma_2 \)) son las tensiones normales máximas y mínimas que ocurren en una orientación particular del material. Estas se encuentran en los puntos donde el círculo intercepta el eje horizontal (\( \tau = 0 \)).