Expansión de Prandtl-Meyer: entienda cómo los ángulos, ondas de choque y velocidad influyen en el flujo supersónico y cómo se aplican en la ingeniería aerodinámica.
Expansión de Prandtl-Meyer: Ángulos, Ondas de Choque y Velocidad
En la dinámica de fluidos y la aerodinámica, la expansión de Prandtl-Meyer es un fenómeno interesante y fundamental que describe cómo un flujo supersónico se expande alrededor de una esquina o un codo. Entender este proceso es vital para el diseño de aviones y cohetes que operan a altas velocidades. En este artículo, exploraremos los ángulos de expansión, las ondas de choque, y las velocidades involucradas en la expansión de Prandtl-Meyer.
Fundamentos de la Expansión de Prandtl-Meyer
La expansión de Prandtl-Meyer ocurre cuando un flujo supersónico experimenta una expansión isentrópica (sin intercambio de calor y sin pérdida de energía total) al girar alrededor de una esquina cóncava. Este fenómeno es lo opuesto a una onda de choque oblicua, que ocurre en el caso de una esquina convexa.
El flujo cambia de dirección y velocidad mientras mantiene su entropía constante. Este cambio se consigue a través de una serie de ondas de expansión que son soluciones a las ecuaciones de Euler para flujos isentrópicos.
Ángulos de Expansión
Uno de los aspectos cruciales de la expansión de Prandtl-Meyer es el ángulo de deflexión (\( \theta \)), que es el ángulo a través del cual el flujo se expande. Este ángulo se mide desde la dirección inicial del flujo hasta la dirección final después de la expansión.
- \(\theta\): Ángulo de deflexión
- \(M\): Número de Mach del flujo inicial
- \(M_1\): Número de Mach después de la expansión
- \(\nu\): Función de Prandtl-Meyer
La función de Prandtl-Meyer (\(\nu\)) es una función adimensional que relaciona el ángulo de deflexión \(\theta\) con los números de Mach antes y después de la expansión. Esta función puede ser representada por:
\[ \nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}} \arctan \left( \sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1} (M^2 – 1)} \right) – \arctan \left( \sqrt{M^2 – 1} \right) \]
Aquí, \(\gamma\) es la relación de capacidades caloríficas (generalmente \( \gamma = 1.4 \) para el aire). La fórmula básica para el ángulo de deflexión \(\theta\) en términos de \(\nu\) es:
\[ \theta = \nu(M_2) – \nu(M_1) \]
En esta ecuación, \(M_1\) es el número de Mach antes de la expansión y \( M_2 \) es el número de Mach después de la expansión.
Ondas de Choque y Expansión
Las ondas de choque juegan un papel crucial en la generación y estabilización de la expansión de Prandtl-Meyer. A diferencia de las ondas de choque oblicuas que ocurren en los flujos subsónicos y pueden resultar en pérdidas de presión significativa, las ondas de expansión de Prandtl-Meyer no tienen tales pérdidas significativas y, de hecho, permiten que el flujo se acelere.
Las ondas de choque son discontinuidades en el flujo de aire donde ocurren cambios abruptos en la velocidad, presión, temperatura y densidad del aire. Las ondas de expansión, por otro lado, son un conjunto de pequeñas ondas que permiten que el flujo se expanda isentrópicamente (sin pérdida de energía). Estas ondas permiten que el fluido acelere y disminuya su presión y densidad.
- Ondas de choque: Aumentan la presión, temperatura y densidad; reducen la velocidad.
- Ondas de expansión: Disminuyen la presión, temperatura y densidad; aumentan la velocidad.
Velocidad y Números de Mach
El número de Mach (\(M\)) es una cantidad adimensional que describe la velocidad de un objeto en movimiento relativo a la velocidad del sonido en el medio en que se mueve. En el contexto de la expansión de Prandtl-Meyer, el número de Mach es fundamental para entender cómo cambia la velocidad del flujo a medida que se expande.
Para un flujo supersónico (\(M > 1\)), la velocidad del flujo aumenta a medida que atraviesa una zona de expansión. Esto se debe a la conservación de la entropía y la energía total del flujo. La energía interna del flujo se convierte en energía cinética, aumentando así la velocidad del flujo.
El número de Mach después de una expansión (\(M_2\)) puede ser encontrado utilizando la función de Prandtl-Meyer y el ángulo de deflexión previamente mencionado:
\[ M_2 = f^{-1} \left( \nu(M_1) + \theta \right) \]
Aquí, \(f^{-1}\) denota la función inversa de \(\nu(M)\). Este cálculo es crucial para el diseño aerodinámico, ya que permite predecir cómo cambiará el número de Mach y, por lo tanto, la velocidad del flujo después de la expansión.