Estados Propios y Valores Propios | Fundamentos de la Mecánica Cuántica

Estados propios y valores propios en mecánica cuántica: fundamentos esenciales para comprender la naturaleza de las partículas y las mediciones cuánticas.

En la mecánica cuántica, dos conceptos fundamentales que surgen cuando se analizan sistemas cuánticos son los estados propios y los valores propios. Estos conceptos son cruciales para entender cómo se comportan los sistemas a nivel cuántico y cómo podemos predecir sus propiedades.

Vectores Propios y Valores Propios

Los términos “valores propios” (eigenvalues) y “vectores propios” (eigenvectors) provienen de las matemáticas y, más específicamente, del álgebra lineal. En el contexto de la mecánica cuántica, estos conceptos se aplican principalmente a operadores lineales que actúan sobre funciones de onda.

Vectores propios: Son los estados cuánticos que no cambian de dirección cuando se aplica un operador. Se representan generalmente por \(\psi\), que también se llaman autofunciones.
Valores propios: Son los valores asociados que resultan de aplicar un operador a su vector propio correspondiente. Se denotan por \(\lambda\).

Bases y Espacios de Hilbert

En mecánica cuántica, los estados de un sistema cuántico se describen por vectores en un espacio de Hilbert, que es un tipo especial de espacio vectorial. Las funciones de onda que describen estos estados se pueden expresar como combinaciones lineales de vectores propios.

Matemáticamente, si un operador \(\hat{O}\) actúa sobre un vector propio \(\psi\), tenemos:

\(\hat{O} \psi = \lambda \psi\)

Donde \(\lambda\) es el valor propio correspondiente. Un conjunto completo de vectores propios puede formar una base para el espacio de Hilbert del sistema. Esto es crucial porque cualquier estado del sistema se puede expresar como una combinación lineal de estos estados básicos.

Operadores Hermíticos

En mecánica cuántica, los operadores que representan observables físicos son generalmente operadores hermíticos (o autoadjuntos). Estos operadores tienen dos propiedades importantes:

Sus valores propios son reales.
Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

Estas propiedades son importantes porque los observables físicos deben tener valores reales y, además, los estados cuánticos correspondientes deben ser mutuamente exclusivos.

Por ejemplo, si \(\hat{H}\) es un operador hamiltoniano (que describe la energía total del sistema), entonces \(\hat{H}\) es un operador hermítico. Si encontramos sus valores propios y vectores propios, podemos describir los posibles estados de energía del sistema cuántico.

Ejemplo: Oscilador Armónico Cuántico

Un ejemplo clásico para ilustrar estos conceptos es el oscilador armónico cuántico. El hamiltoniano (operador de energía) para un oscilador armónico cuántico se puede escribir como:

\(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)

Donde \(\hbar\) es la constante de Planck reducida, \(m\) es la masa del oscilador, \(\omega\) es la frecuencia angular, y \(x\) es la posición. Al resolver la ecuación \(\hat{H} \psi_n = E_n \psi_n\), encontramos los valores propios \(E_n\) (energías posibles) y vectores propios \(\psi_n\) (estados de energía).

Las soluciones para el oscilador armónico cuántico son:

Vectores propios: \(\psi_n(x)\) son las funciones de onda del oscilador armónico.
Valores propios: \(E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar \omega\), donde \(n = 0, 1, 2, \ldots\)

Estos valores propios \(E_n\) indican los niveles de energía que puede adquirir el oscilador. Cada nivel \(n\) tiene una función de onda asociada \(\psi_n(x)\), que describe la probabilidad de encontrar la partícula en diferentes posiciones.

Teorema de Correspondencia de Ehrenfest

Un aspecto importante de la mecánica cuántica es cómo se relaciona con la mecánica clásica. El teorema de correspondencia de Ehrenfest ayuda a conectar los conceptos cuánticos con los clásicos. En resumen, establece que las expectativas de las variables cuánticas obedecen a las mismas ecuaciones que las variables clásicas en el límite de grandes números cuánticos.

Para un observable \(Q\) y su operador correspondiente \(\hat{Q}\), la expectativa se describe como:

\(\langle Q \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*(x,t) \hat{Q} \psi(x,t) \, dx\)

Por ejemplo, la segunda ley de Newton en términos de expectativas cuánticas para una partícula en un potencial \(V(x)\) se puede expresar como:

\(\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = – \left\langle \frac{dV}{dx} \right\rangle\)

Si las expectativas se calculan para estados cuánticos que corresponden a grandes números cuánticos, la evolución queda muy similar a la obtenida por la mecánica clásica.