Entropía de entrelazamiento: Entiende la relación entre estados cuánticos, coherencia y sistemas. Conceptos esenciales explicados de forma sencilla.
Entropía de Entrelazamiento: Estados Cuánticos, Coherencia y Sistemas
La entropía de entrelazamiento es un concepto clave en la física cuántica, sobre todo en el estudio de sistemas entrelazados. Este fenómeno está relacionado con la información cuántica y la termodinámica, y tiene aplicaciones en áreas como la computación cuántica y la teoría de la información. Para entender la entropía de entrelazamiento, primero debemos adentrarnos en conceptos básicos como los estados cuánticos, la coherencia y el entrelazamiento cuántico.
Estados Cuánticos
Un estado cuántico describe la condición de un sistema cuántico. Este puede representarse mediante un vector de estado en un espacio de Hilbert, el cual es un espacio vectorial con producto interior. Un sistema cuántico de una partícula puede describirse usando una función de onda ψ(x), donde x representa la posición de la partícula. La probabilidad de encontrar la partícula en una posición específica se obtiene tomando el valor absoluto cuadrado de ψ(x), es decir, |ψ(x)|2.
Coherencia Cuántica
La coherencia cuántica es la propiedad que permite a un sistema cuántico estar en una superposición de estados. Por ejemplo, un electrón puede estar en una superposición de dos estados de energía diferentes. Esta superposición es fundamental para los fenómenos cuánticos y se describe matemáticamente como una combinación lineal de estados cuánticos:
\[
|\psi\rangle = c_1 |0\rangle + c_2 |1\rangle
\]
donde c1 y c2 son coeficientes complejos que satisfacen la relación de normalización |c1|2 + |c2|2 = 1.
Entrelazamiento Cuántico
El entrelazamiento cuántico es un fenómeno en el que dos o más partículas se vuelven inseparables de tal manera que el estado de una partícula no puede describirse independientemente del estado de la otra. Este fenómeno es crucial para la física cuántica y tiene aplicaciones en la criptografía cuántica y la computación cuántica.
Medición y Colapso de la Función de Onda
Cuando se mide un sistema cuántico, la función de onda colapsa a uno de los posibles estados eigen, y el resultado de la medición corresponde a este estado eigen específico. Este proceso es inherentemente probabilístico y está gobernado por la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica.
Entropía de Entrelazamiento
Para cuantificar el grado de entrelazamiento en un sistema cuántico, se utiliza la entropía de entrelazamiento. Si consideramos un sistema compuesto por dos subsistemas A y B entrelazados, la entropía de entrelazamiento se puede calcular usando la matriz densidad reducida. La matriz densidad total para el sistema compuesto es \(\rho_{AB}\). La matriz densidad reducida para el subsistema A se obtiene trazando fuera el subsistema B:
\[
\rho_A = \text{Tr}_B (\rho_{AB})
\]
La entropía de von Neumann, que mide la incertidumbre asociada con el subsistema A, se define como:
\[
S(\rho_A) = – \text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)
\]
Donde \(\text{Tr}\) denota la traza de la matriz y \(\log\) es el logaritmo natural. Esta entropía de von Neumann sirve como una medida del entrelazamiento entre los subsistemas A y B. Si \(\rho_A\) (o \(\rho_B\)) es un estado puro, la entropía de entrelazamiento es cero, indicando la ausencia de entrelazamiento. En casos de entrelazamiento máximo, la entropía apropiadamente normalizada toma su valor máximo.
Aplicaciones e Implicaciones
La entropía de entrelazamiento tiene profundas implicaciones en varias áreas de la física y la computación. Por ejemplo, en la computación cuántica, el entrelazamiento se utiliza para ejecutar operaciones entrelazadas que no tienen equivalentes clásicos. Adicionalmente, la entropía de entrelazamiento se utiliza en la teoría de la información cuántica como una medida de la pureza de una mezcla de estados cuánticos y para analizar la capacidad de los canales cuánticos.
Ejemplos y Formulaciones
Considérese un sistema cuántico de dos qubits en el estado de Bell, que es un tipo de estado máximo entrelazado:
\[
|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|00\rangle + |11\rangle)
\]
La matriz densidad correspondiente es:
\[
\rho_{AB} = |\Phi^+\rangle \langle \Phi^+| = \frac{1}{2} (|00\rangle \langle 00| + |00\rangle \langle 11| + |11\rangle \langle 00| + |11\rangle \langle 11|)
\]
La matriz densidad reducida para uno de los qubits, A por ejemplo, se obtiene trazando fuera el otro qubit:
\[
\rho_A = \text{Tr}_B (\rho_{AB}) = \frac{1}{2} (|0\rangle \langle 0| + |1\rangle \langle 1|)
\]
Es evidente que \(\rho_A\) corresponde a un estado mixto con entropía de von Neumann
\[
S(\rho_A) = – \text{Tr} (\rho_A \log \rho_A) = 1
\]
lo que indica un estado de entrelazamiento máximo entre los qubits A y B.