El Teorema de Noether en la Teoría de Campos: cómo las simetrías implican leyes de conservación, cruciales en la teoría cuántica de campos y la física moderna.
El Teorema de Noether en la Teoría de Campos
El Teorema de Noether, propuesto por la matemática alemana Emmy Noether en 1915 y publicado en 1918, es fundamental en la física teórica y la teoría de campos. Este teorema establece una conexión profunda entre las simetrías y las leyes de conservación en la física. Entenderlo es esencial para comprender cómo funcionan las teorías modernas de campo y la mecánica cuántica.
Simetría y Conservación
En el contexto de la física, una simetría se refiere a una propiedad de un sistema que permanece invariante bajo alguna transformación. Estas transformaciones pueden ser espaciales (traslaciones, rotaciones), temporales (traslaciones en el tiempo) o más abstractas (simetrías gauge, por ejemplo).
El teorema de Noether establece que cada simetría continua de la acción de un sistema físico corresponde a una ley de conservación. La acción, denotada generalmente como S, es una integral de Lagrangiano (\( \mathcal{L} \)) del sistema sobre el tiempo:
\[
S = \int \mathcal{L} \, dt
\]
Donde \( \mathcal{L} \) es una función que describe la dinámica del sistema.
Aplicaciones en la Teoría Clásica de Campos
En la teoría clásica de campos, las simetrías pueden ser infinitesimales o globales. Una simetría global implica que la misma transformación se aplica en todo el espacio-tiempo sin variar. Por ejemplo, la traslación en el espacio es una simetría global que lleva a la conservación de la cantidad de movimiento.
Consideremos un campo escalar \(\phi (\mathbf{x}, t)\). Si la acción es invariante bajo una translación de tiempo \( t \rightarrow t + \epsilon \), esto lleva a la conservación de la energía. Formalmente, esto deriva de la invariancia del Lagrangiano bajo esa trasformación usando el principio de acción estacionaria.\
Formulación Matemática
Consideremos un campo general \(\phi_i (x)\) con \(i\) denotando diferentes componentes del campo. Si la acción de un sistema es invariante bajo una transformación infinita o continua (parámetro \(\varepsilon\)):
\[
x^\mu \rightarrow x^\mu + \varepsilon \delta x^\mu
\]
\[
\phi_i (x) \rightarrow \phi_i (x) + \varepsilon \delta \phi_i (x)
\]
Entonces, existe una corriente conservada \( J^\mu \) tal que
\[
\partial_\mu J^\mu = 0
\]
La corriente se puede expresar como
\[
J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_i)} \delta \phi_i – T^{\mu \nu} \delta x_\nu
\]
Donde \( T^{\mu \nu} \) es el tensor de energía-momento. La existencia de esta corriente conservada implica una cantidad conservada en el tiempo.
Ejemplo: Simetría de Traslación y Conservación de Energía
Supongamos un campo \(\phi (x)\) cuya Lagrangiana \(\mathcal{L}\) no depende explícitamente del tiempo. Entonces, la simetría temporal implica:
\[
\delta t = t + \epsilon
\]
Esto conlleva una conservación de energía, donde la corriente conservada es:
\[
J^0 = \mathcal{H} = \pi \dot{\phi} – \mathcal{L}
\]
Aquí, \(\mathcal{H}\) es el Hamiltoniano del sistema, que representa la energía total. \(\pi\) es el momento correspondiente al campo \(\phi\).
Consecuencias en la Teoría Cuántica de Campos
En la teoría cuántica de campos (TCC), el teorema de Noether toma una relevancia aún mayor. Las teorías de campo como el Electrodinámica Cuántica (QED) y la Cromodinámica Cuántica (QCD) se basan en principios de simetría locales y globales.
En la TCC, las partículas se describen a través de campos cuánticos, y las simetrías de estos campos llevan a la conservación de cantidades observables. Por ejemplo, la invariancia bajo simetría de fase (simetría de gauge U(1)) en QED lleva a la conservación de la carga eléctrica.
Matemáticamente, para un campo \(\psi(x)\), una simetría global de fase se expresa como
\[
\psi(x) \rightarrow e^{i \alpha} \psi(x)
\]
Donde \(\alpha\) es un valor constante. Esta transformación no cambia la Lagrangiana si \(\mathcal{L}\) depende solo de \(\psi\) y sus derivadas. La corriente conservada asociada es el corriente de Noether, donde se conserva la carga eléctrica:
\[
J^\mu = \bar{\psi} \gamma^\mu \psi
\]
Aquí, \(\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0\) es el conjugado de Dirac del campo y \(\gamma^\mu\) son las matrices gamma de Dirac.
Deducción del Momento Angular
Otra simetría fundamental es la rotacional, asociada con el momento angular. La invariancia bajo rotaciones en el espacio conduce a la conservación del momento angular. Esta se describe por una transformación rotacional en la coordenada espacial:
\[
\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x} + \varepsilon (\mathbf{x} \times \hat{\mathbf{n}})
\]
Donde \(\hat{\mathbf{n}}\) es un vector unitario que indica la dirección de rotación y \(\varepsilon\) es pequeño. Esto implica que el tensor de energía-momento \( T^{\mu \nu} \) también debe cumplir ciertas propiedades bajo estas transformaciones.
En términos de campos, la conservación del momento angular se expresa por la corriente correspondiente:
\[
J^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)} (\delta \phi – x^\nu \partial_\nu \phi)
\]
Este es un ejemplo de cómo las cantidades físicas observables, como el momento angular, se derivan de propiedades de simetrías de la acción del sistema.