El Teorema de Mohr | Análisis, Equilibrio y Estructuras

El Teorema de Mohr | Análisis, Equilibrio y Estructuras: Una guía clara sobre el uso del teorema para analizar tensiones y deformaciones en materiales y estructuras.

El teorema de Mohr es una herramienta fundamental en el análisis de tensiones y deformaciones en sólidos, ampliamente utilizada en ingeniería estructural y mecánica. Este teorema permite determinar de manera gráfica los componentes de tensión normales y de corte en un punto específico de un material sometido a cargas. El círculo de Mohr, una representación gráfica derivada de este teorema, facilita la visualización y el cálculo de estos componentes. A continuación, se explorarán los fundamentos, teorías utilizadas, fórmulas y aplicaciones en el contexto de estructuras y equilibrio.

Fundamentos del Teorema de Mohr

El teorema de Mohr, nombrado en honor al ingeniero alemán Christian Otto Mohr, se basa en la transformación de tensiones y la representación gráfica de los estados de tensión en un punto específico de un material. Específicamente, el círculo de Mohr se utiliza para visualizar cómo las tensiones varían según la orientación del plano en el que se mida.

En un sólido sometido a fuerzas externas, cualquier punto dentro del material está sujeto a tensiones. Estas tensiones pueden descomponerse en componentes normales (σ) y componentes de corte (τ). El teorema de Mohr proporciona un método para calcular estas componentes en cualquier plano inclinado con respecto a un sistema de coordenadas original.

Teorías Utilizadas

Para comprender el teorema de Mohr, es esencial familiarizarse con algunas teorías y principios básicos de la mecánica de materiales:

Equilibrio Estático: Las condiciones de equilibrio estático establecen que la suma de todas las fuerzas y momentos en un sistema debe ser cero. Esto se expresa matemáticamente como \(\sum F = 0\) y \(\sum M = 0\).
Ley de Hooke: Relaciona las tensiones con las deformaciones en el rango elástico de un material, expresada como σ = E * ε, donde E es el módulo de Young y ε es la deformación.
Tensor de Tensiones: La distribución de tensiones en un punto se describe mediante un tensor de tensiones, que en tres dimensiones es una matriz 3×3 que incluye componentes de tensiones normales y de corte.

Formulación Matemática

Para un análisis bidimensional (2D), consideremos un elemento infinitesimal sometido a tensiones en los planos x y y. Las componentes de tensión en estos planos pueden representarse mediante un tensor de tensiones 2D:

\[
\sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} \\
\tau_{yx} & \sigma_y
\end{pmatrix}
\]

A partir de este tensor, se puede derivar el círculo de Mohr. Las ecuaciones clave para encontrar las tensiones normales y de corte en un plano inclinado a un ángulo θ con respecto al plano x-y son:

\[
\sigma_n = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \cos (2\theta) + \tau_{xy} \sin (2\theta)
\]

\[
\tau_n = -\frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \sin (2\theta) + \tau_{xy} \cos (2\theta)
\]

Aquí, \(\sigma_n\) es la tensión normal en el plano inclinado y \(\tau_n\) es la tensión de corte. Estas ecuaciones nos permiten calcular las tensiones en cualquier orientación del plano.

El Círculo de Mohr en 2D

El círculo de Mohr proporciona una representación gráfica de las ecuaciones anteriores. Para construir el círculo de Mohr, se siguen los siguientes pasos:

Se trazan dos ejes: el eje horizontal para las tensiones normales (σ) y el eje vertical para las tensiones de corte (τ).
Se ubican los puntos (\(\sigma_x\), \(\tau_{xy}\)) y (\(\sigma_y\), -\(\tau_{xy}\)) en el gráfico.
Se calcula el centro del círculo como el punto medio entre \(\sigma_x\) y \(\sigma_y\), que se encuentra en el eje σ en \(\frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}\).
Se determina el radio del círculo de Mohr utilizando la distancia entre los puntos, resultando en \(\sqrt{\left( \frac{\sigma_x – \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}\).
Finalmente, se traza el círculo con el centro y el radio calculados.

El círculo de Mohr permite visualizar directamente las tensiones máximas y mínimas en el material, así como las tensiones de corte máxima.

Aplicaciones en Ingeniería Estructural

El teorema de Mohr y el círculo de Mohr se utilizan extensamente en ingeniería estructural para analizar y diseñar componentes que deben soportar diversas cargas. Algunas aplicaciones incluyen:

Análisis de Vigamentos: En estructuras como puentes y edificios, los vigamentos están sujetos a fuerzas que provocan tensiones y deformaciones. El círculo de Mohr ayuda a determinar las tensiones críticas y asegurar que los materiales utilizados sean adecuados.
Diseño de Ejes y Engranajes: En maquinaria, los ejes y engranajes experimentan tensiones de torsión y flexión. Utilizando el círculo de Mohr, los ingenieros pueden diseñar componentes que resistan estas tensiones sin fallar.
Evaluación de Materiales Compuestos: Los materiales compuestos, como la fibra de carbono, tienen propiedades anisotrópicas y su comportamiento bajo carga puede ser complejo. El círculo de Mohr permite analizar las tensiones en diferentes direcciones y optimizar el diseño.