El Círculo de Mohr para Esfuerzo Plano: principios de esfuerzo y deformación, análisis gráfico que facilita la comprensión de tensiones en materiales.
El Círculo de Mohr para Esfuerzo Plano | Análisis, Principios de Esfuerzo y Deformación
El Círculo de Mohr es una herramienta gráfica ampliamente utilizada en el campo de la mecánica de materiales y la ingeniería estructural para analizar el estado de esfuerzo en un punto bajo condiciones de esfuerzo plano. Este diagrama facilita la visualización de cómo se distribuyen los esfuerzos normales y cortantes en diferentes orientaciones alrededor de un punto particular en un material.
Conceptos Básicos
El estudio del esfuerzo y la deformación en materiales es crucial para entender cómo se comportan bajo diversas cargas. En un escenario de esfuerzo plano, se considera que uno de los tres ejes principales de esfuerzo es cero, simplificando considerablemente el análisis tridimensional a una perspectiva bidimensional.
Los componentes principales del esfuerzo en una situación de esfuerzo plano son:
Para un punto en un material en un estado de esfuerzo plano, podemos definir dos esfuerzos normales (\(\sigma_x\) y \(\sigma_y\)) y un esfuerzo cortante (\(\tau_{xy}\)), donde:
- \(\sigma_x\) es el esfuerzo normal en la dirección x.
- \(\sigma_y\) es el esfuerzo normal en la dirección y.
- \(\tau_{xy}\) es el esfuerzo cortante en el plano xy.
Estos valores son la base para construir el Círculo de Mohr.
Teoría y Desarrollo del Círculo de Mohr
El Círculo de Mohr fue desarrollado por el ingeniero alemán Christian Otto Mohr en el siglo XIX. La construcción del círculo se basa en la transformación de esfuerzos, donde se determinan los valores principales de esfuerzo (máximos y mínimos) y las orientaciones correspondientes.
Construcción del Círculo de Mohr
Paso 1: Define los Componentes del Esfuerzo
Los valores iniciales de esfuerzo normal y cortante se utilizan para ubicar dos puntos en el plano \(\sigma-\tau\) (esfuerzo normal-esfuerzo cortante). Estos puntos son:
- Punto A: \((\sigma_x, \tau_{xy})\)
- Punto B: \((\sigma_y, -\tau_{xy})\)
Paso 2: Calcula el Centro del Círculo
El centro del círculo, C, se encuentra exactamente a mitad de camino entre \(\sigma_x\) y \(\sigma_y\). La posición del centro se calcula con:
\[
\sigma_c = \frac {\sigma_x + \sigma_y} {2}
\]
La coordenada vertical del centro en el plano \(\sigma-\tau\) es cero, ya que es un círculo centrado en el eje horizontal de esfuerzos normales.
Paso 3: Determina el Radio del Círculo
El radio \(R\) del círculo de Mohr se calcula a partir de la distancia entre el centro del círculo y uno de los puntos (A o B). La fórmula para el radio es:
\[
R = \sqrt {\left( \frac {\sigma_x – \sigma_y} {2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
Paso 4: Dibuja el Círculo
Con el centro y el radio determinados, el círculo se puede dibujar en el plano \(\sigma-\tau\). El círculo de Mohr proporciona una representación visual del estado complejo de esfuerzos y permite determinar los esfuerzos principales y máximos esfuerzos cortantes.
Fórmulas Fundamentales y Análisis
Esfuerzos Principales
Los esfuerzos principales son los valores máximo y mínimo del esfuerzo normal en un punto, y se encuentran en las direcciones donde el esfuerzo cortante es nulo. Las ecuaciones para los esfuerzos principales (\(\sigma_1\) y \(\sigma_2\)) son:
\[
\sigma_{1,2} = \sigma_c \pm R = \frac {\sigma_x + \sigma_y} {2} \pm \sqrt {\left( \frac {\sigma_x – \sigma_y} {2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
Máximo Esfuerzo Cortante
El máximo esfuerzo cortante (\(\tau_{max}\)) se encuentra directamente en el radio máximo del círculo, lo cual implica que:
\[
\tau_{max} = R = \sqrt {\left( \frac {\sigma_x – \sigma_y} {2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}
\]
Orientaciones
Las orientaciones de los esfuerzos principales se pueden obtener a partir del ángulo \(\theta_p\), que es el ángulo de rotación que debe aplicarse para alinear el eje de referencia con las direcciones de los esfuerzos principales. Este ángulo es:
\[
\tan (2\theta_p) = \frac {2\tau_{xy}} {\sigma_x – \sigma_y}
\]
Usando esta ecuación, podemos determinar la orientación de los esfuerzos principales para cualquier estado de esfuerzo dado en el plano.