Ecuaciones RANS: Principios del movimiento de fluidos y turbulencia. Aprende cómo estas ecuaciones se usan en modelado y simulación de flujos complejos.
Ecuaciones RANS: Movimiento de Fluidos, Turbulencia y Modelado
En el estudio del movimiento de fluidos, las ecuaciones de Reynolds Average Navier-Stokes (RANS) juegan un papel crucial. Estas ecuaciones son fundamentales para modelar y entender la turbulencia, un fenómeno complejo y aún no completamente comprendido en el campo de la física de fluidos. A lo largo de este artículo, exploraremos las bases teóricas, las fórmulas y las aplicaciones prácticas de estas ecuaciones.
Fundamentos Teóricos
El movimiento de fluidos se describe comúnmente usando las ecuaciones de Navier-Stokes, que son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales. Estas ecuaciones son esenciales para describir cómo se comportan los fluidos (líquidos y gases) bajo diferentes condiciones. Las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma más básica son:
\[
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}
\]
donde:
- \mathbf{u} = velocidad del fluido
- t = tiempo
- \rho = densidad del fluido
- p = presión
- \nu = viscosidad cinemática
- \mathbf{f} = fuerza externa
Las ecuaciones de Navier-Stokes son muy útiles, pero son extremadamente complicadas de resolver cuando el flujo es turbulento. La turbulencia añade una gran cantidad de complejidad, debido a la presencia de remolinos y fluctuaciones rápidas e impredecibles en la velocidad del fluido. Aquí es donde las ecuaciones RANS entran en juego.
Teoría de Reynolds y las Ecuaciones Promediadas
Osborne Reynolds propuso en 1895 una manera de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes mediante el promedio de las fluctuaciones turbulentas. Este proceso se conoce como “promedio de Reynolds”, y las ecuaciones resultantes se denominan ecuaciones RANS.
El promedio de Reynolds descompone la velocidad y otros campos de flujo en una parte media (promedio) y una parte fluctuante. Para el campo de velocidad, esto se puede expresar como:
\[
\mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}’
\]
donde:
- \overline{\mathbf{u}} = componente promedio de la velocidad
- \mathbf{u}’ = componente fluctuante de la velocidad
Al sustituir esta descomposición en las ecuaciones de Navier-Stokes y tomar el promedio de Reynolds, se obtiene lo que conocemos como las ecuaciones RANS:
\[
\frac{\partial \overline{\mathbf{u}}}{\partial t} + (\overline{\mathbf{u}} \cdot \nabla) \overline{\mathbf{u}} = -\frac{1}{\rho} \nabla \overline{p} + \nu \nabla^2 \overline{\mathbf{u}} – \nabla \cdot \overline{\mathbf{u}’ \mathbf{u}’}
\]
Las ecuaciones RANS son muy similares a las ecuaciones originales de Navier-Stokes, pero incluyen un término adicional, \(\overline{\mathbf{u}’ \mathbf{u}’}\), que representa el efecto de las fluctuaciones turbulentas sobre el flujo promedio. Este término se conoce como el “tensor de tensiones de Reynolds”.
Modelado de Turbulencia
Una de las grandes dificultades al trabajar con las ecuaciones RANS es la necesidad de modelar el tensor de tensiones de Reynolds, ya que no se puede determinar directamente a partir de las condiciones iniciales y de contorno del problema. Existen varios modelos de turbulencia que se utilizan para cerrar el sistema de ecuaciones RANS, es decir, para proporcionar una expresión para el tensor de tensiones de Reynolds en términos de las variables promedio del flujo.
Algunos de los modelos de turbulencia más comunes incluyen:
- Modelo de turbulencia de longitud de mezcla de Prandtl: Este es uno de los modelos más simples y supone que la viscosidad turbulenta es proporcional a la longitud de mezcla y a la velocidad de cizallamiento. Aunque es muy simplista, se utiliza en aplicaciones donde se requiere una solución rápida y no se necesitan detalles precisos.
- Modelo k-ε: Este modelo introduce dos nuevas variables al problema, la energía cinética turbulenta (k) y la tasa de disipación de energía turbulenta (ε). Las ecuaciones adicionales para k y ε permiten una descripción más precisa de los efectos de la turbulencia, lo que hace que este modelo sea muy popular en la práctica de la ingeniería.
- Modelo k-ω: Similar al modelo k-ε, el modelo k-ω utiliza la energía cinética turbulenta (k) y una tasa de disolución específica (ω) en lugar de ε. Este modelo es especialmente útil en la predicción de flujos cerca de las paredes y es conocido por su precisión en tales aplicaciones.
- Modelo de vorticidad de cizallamiento (SST): Este es un modelo híbrido que combina las ventajas del modelo k-ε para flujos lejos de las paredes y el modelo k-ω cerca de las superficies de las paredes. Esto proporciona una solución más robusta y precisa para una variedad de problemas de ingeniería.