Ceros de Lee-Yang | Teoría Cuántica, Transiciones de Fase y Fenómenos Críticos

Los ceros de Lee-Yang en física cuántica explican transiciones de fase y fenómenos críticos, revelando la teoría detrás de los cambios abruptos en sistemas físicos.

Ceros de Lee-Yang | Teoría Cuántica, Transiciones de Fase y Fenómenos Críticos

Ceros de Lee-Yang: Teoría Cuántica, Transiciones de Fase y Fenómenos Críticos

Los ceros de Lee-Yang son un concepto fascinante en la física teórica que se centran en la intersección de la teoría cuántica, las transiciones de fase y los fenómenos críticos. Este enfoque matemático apareció por primera vez en los trabajos de C. N. Yang y T. D. Lee en 1952, quienes investigaron cómo se comportan los sistemas físicos en situaciones críticas, como cerca de una transición de fase.

Teoría Cuántica y Transiciones de Fase

La teoría cuántica describe el comportamiento de partículas subatómicas, como electrones y fotones, que no sigue las leyes de la física clásica. En esta escala, las partículas pueden exhibir propiedades de ondas y partículas simultáneamente, una dualidad que es crucial para diversos fenómenos cuánticos.

Las transiciones de fase son cambios abruptos en las propiedades de un sistema físico que ocurren cuando se varían parámetros como la temperatura o la presión. Los ejemplos más comunes son el cambio de estado de un material, como pasar de sólido a líquido (fusión) o de líquido a gas (evaporación). En el contexto cuántico, las transiciones de fase pueden ocurrir de manera más compleja y a menudo implican cambios en la estructura de energía y en las propiedades de los sistemas cuánticos.

Para entender cómo un sistema cuántico cambia de fase, utilizamos modelos matemáticos que capturan las interacciones entre las partículas. Una pregunta clave es: ¿Cómo podemos predecir cuándo ocurrirá una transición de fase?

Ceros de Lee-Yang: Fundamentos y Teoría

Yang y Lee propusieron que una forma eficaz de estudiar las transiciones de fase es analizar las raíces (ceros) de ciertas funciones matemáticas asociadas al sistema. En un sistema físico, la función de partición Z es una de estas funciones clave, y se define como la suma de todas las posibles configuraciones del sistema, ponderadas por la energía de cada configuración y un factor que depende de la temperatura.

La función de partición se puede expresar como:

Z = \sum _i e^{-\beta E_i}

donde Ei son las energías posibles del sistema y \beta = 1/(kBT), con kB siendo la constante de Boltzmann y T la temperatura.

Los ceros de Lee-Yang surgen cuando analizamos esta función en el plano complejo. Si consideramos el campo magnético H como una variable compleja, podemos buscar los valores complejos de H donde Z(H) = 0.

Lee y Yang demostraron que los ceros de la función de partición Z(H) tienen propiedades notables. En particular, para sistemas de Ising unidimensionales y bidimensionales, encontraron que estos ceros se disponen en anillos en el plano complejo. Lo más significante es que, en el límite termodinámico (es decir, cuando el tamaño del sistema tiende a infinito), los ceros se acercan a una línea crítica en el plano complejo.

Fenómenos Críticos

Los fenómenos críticos son aspectos esenciales que ocurren en las cercanías de un punto crítico de una transición de fase. Los sistemas físicos muestran comportamientos singulares en estos puntos, como divergencias en la capacidad calorífica o la susceptibilidad magnética. Estos puntos críticos pueden caracterizarse por la aparición de correlaciones a larga distancia y variaciones de escala en las propiedades del sistema, observándose patrones fractales.

Uno de los conceptos fundamentales en los fenómenos críticos es el exponente crítico, que describe cómo ciertas cantidades físicas divergen o convergen cerca del punto crítico. Por ejemplo, la magnetización M en un modelo de Ising se puede describir cerca del punto crítico Tc mediante la fórmula:

M \propto (T_c - T)^\beta

aquí, \beta es el exponente crítico relacionado con la magnetización. Los ceros de Lee-Yang proporcionan una manera de estudiar estos exponentes críticos de forma matemática y predictiva.

Ejemplos y Aplicaciones

  • Modelo de Ising: Un clásico modelo en física estadística que describe un material ferromagnético donde los espines de los átomos pueden estar en dos estados posibles (+1 o -1). La función de partición de este modelo en presencia de un campo magnético complejo puede revelar ceros de Lee-Yang que informan sobre las transiciones de fase ferromagnéticas.
  • Sistemas de Lattice QCD: En cromodinámica cuántica en redes (Lattice QCD), que estudia la interacción entre quarks y gluones, los ceros de Lee-Yang pueden ayudar a comprender las transiciones de fase en el comportamiento del plasma de quarks-gluones.

El estudio de los ceros de Lee-Yang también tiene aplicaciones en campos como la física de materiales, donde puede brindar información sobre los comportamientos de materiales magnéticos y superconductores, o incluso en biología y economía, donde se pueden modelar transiciones críticas similares.