La adición de velocidades relativistas: teoría, ecuaciones y ejemplos. Aprende cómo se suman velocidades a velocidades cercanas a la luz en la relatividad especial.
Adición de Velocidades Relativistas
En la física clásica, sumamos velocidades simplemente usando la aritmética común. Por ejemplo, si un tren se mueve a 100 km/h y un pasajero camina hacia adelante dentro del tren a 5 km/h, la velocidad del pasajero con respecto a un observador en tierra es 105 km/h. Sin embargo, en el ámbito de la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein, adicionar velocidades no es tan sencillo.
Teoría de la Relatividad Especial
La teoría de la relatividad especial fue propuesta por Albert Einstein en 1905. Una de las premisas fundamentales de esta teoría es que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, sin importar el estado de movimiento del observador o de la fuente de luz. Esta invarianza de la velocidad de la luz trae consigo diversas consecuencias, una de ellas es la necesidad de recalcular la forma en que sumamos las velocidades cuando éstas se acercan a la velocidad de la luz.
Adición de Velocidades Relativistas
Cuando las velocidades involucradas son comparables a la velocidad de la luz (c), que es aproximadamente 299,792,458 metros por segundo, la adición simple de velocidades no es precisa. En su lugar, debemos utilizar la fórmula de adición de velocidades de la relatividad especial.
- De acuerdo con la relatividad, si un objeto A tiene una velocidad \( u \) en un marco de referencia y un objeto B se mueve con velocidad \( v \) con respecto a A, la velocidad \(\mathbf{w}\) de B con respecto a un observador en reposo es dada por la ecuación:
\[ w = \frac{u + v}{1 + \frac{uv}{c^2}} \]
Explicación de la Fórmula
Esta fórmula asegura que ninguna velocidad supere la velocidad de la luz \( c \). Veamos cómo funciona:
- Velocidades Pequeñas: Si las velocidades \( u \) y \( v \) son mucho menores que \( c \), el término \( \frac{uv}{c^2} \) se vuelve insignificante. En este caso, la fórmula relativista se reduce a la suma clásica \( w = u + v \).
- Velocidades Comparables a c: Si \( u \) y \( v \) son cercanas a \( c \), la contribución del término \( \frac{uv}{c^2} \) se vuelve significativa, ajustando la suma de modo que \( w \) nunca exceda \( c \).
Ejemplos
Ejemplo 1: Velocidades de Aviones
Imaginemos dos aviones, uno volando al 80% de la velocidad de la luz (0.8c) y otro al 70% de la velocidad de la luz (0.7c). Queremos encontrar la velocidad del segundo avión respecto a un observador en reposo en la Tierra, con el primero avión como el sistema de referencia:
\[ u = 0.8c \]
\[ v = 0.7c \]
Usando la fórmula de adición de velocidades:
\[ w = \frac{0.8c + 0.7c}{1 + \frac{(0.8c)(0.7c)}{c^2}} = \frac{1.5c}{1 + 0.56} = \frac{1.5c}{1.56} \approx 0.9615c \]
Entonces, la velocidad del segundo avión con respecto a un observador en la Tierra es aproximadamente 0.9615c, lo cual es menor a la velocidad de la luz.
Ejemplo 2: Partículas Subatómicas
Consideremos dos partículas subatómicas en un acelerador de partículas. La primera partícula se mueve a una velocidad de 0.9c, y la segunda partícula se mueve en la dirección opuesta a 0.85c:
\[ u = -0.9c \]
\[ v = 0.85c \]
Aplicamos la fórmula nuevamente:
\[ w = \frac{-0.9c + 0.85c}{1 + \frac{(-0.9c)(0.85c)}{c^2}} = \frac{-0.05c}{1 – 0.765} = \frac{-0.05c}{0.235} \approx -0.213c \]
La velocidad relativa de la segunda partícula con respecto al mismo sistema de referencia sería aproximadamente -0.213c, indicando que se mueve en la dirección opuesta, pero no superando la velocidad de la luz.
Consecuencias de la Adición de Velocidades Relativistas
La adición de velocidades relativistas es una consecuencia directa de la teoría de la relatividad especial y tiene importantes implicaciones:
- Limitación de la Velocidad: Ningún objeto con masa puede alcanzar o superar la velocidad de la luz. La fórmula de adición de velocidades garantiza que, sin importar cuántas velocidades se sumen, el resultado nunca exceda \( c \).
- Dilatación del Tiempo y Contracción de Longitudes: En los marcos de referencia en movimiento, el tiempo se dilata (los relojes en movimiento parecen ir más lentos) y las longitudes se contraen (los objetos en movimiento parecen más cortos en la dirección del movimiento).